4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
Pythagoras sats
Avståndsformeln i planet
Cirkelns ekvation

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Omvandla mellan grader, radianer och varv.
Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
Formulera och använda Pythagoras sats.
Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.

Ett helt varv är $\,360^\circ\,$ eller $\,2\pi\,$ radianer och det gör att $$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$ Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$
$ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Exempel 2

Vinklarna $\,-55^\circ\,$ och $\,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$
Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\,$ och $\,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$
Vinklarna $\,36^\circ\,$ och $\,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$

[redigera] Avståndsformeln

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att

Pythagoras sats: $$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$

Exempel 3

I triangeln till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\,$ och $\,(a, b)\,$ är $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

Avståndet mellan $\,(1,2)\,$ och $\,(3,1)\,$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$
Avståndet mellan $\,(-1,0)\,$ och $\,(-2,-5)\,$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$

[redigera] Cirklar

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.

Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger.

Bestäm cirkelbågens längd.

Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$ På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, $$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
Bestäm cirkelsektorns area.

Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$ och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\,$ delar av cirkelns area som är $\,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs. $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$

En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som

Cirkelns ekvation: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$

Exempel 6

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.

$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.

$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.

Exempel 7

Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?

Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att
$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $
$=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.

Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.

Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$ Cirkelns ekvation är därför $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.

Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$ för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet $$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$ $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$

Vänsterledet är alltså lika med $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$

Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att:

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia

Läs mer i Mathworld om cirkeln

Länktips

Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.1_Vinklar_och_cirklar

4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Teori

[redigera] Vinkelmått

[redigera] Avståndsformeln

[redigera] Cirklar

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=4.1 Vinklar och cirklar=
 <div class="inforuta">
 '''Innehåll:'''
-*Vinkelmått
+*Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
+*Pythagoras sats
 *Avståndsformeln i planet
 *Cirkelns ekvation
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Omvandla mellan grader, radianer och varv
+*Omvandla mellan grader, radianer och varv.
-*Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor
+*Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
-*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet
+*Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
-*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer
+*Formulera och använda Pythagoras sats.
-*Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
+*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
-*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar
+*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
+*Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
+*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
 </div>
 Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
-*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del $1$ grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.
+*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.
-Bild: figur 3.2.1
+[[Bild:3_2_1.gif||center]]
-*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $2\pi$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $2\pi r$, där $r$ är cirkelns radie.
+*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.
-Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3
+[[Bild:3_2_2.gif||center]]
-Ett helt varv är $360^\circ$ eller $2\pi$ radianer och det gör att
+Ett helt varv är $\,360^\circ\,$ eller $\,2\pi\,$ radianer och det gör att
-$$1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }$$
+$$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$
-$$1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$$
 Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.
 <ol type="a">
-<li>$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } =  \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer }$ <br><br>
+<li>$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } =  \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$ <br><br>
-<li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) =  \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ$
+<li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) =  \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$
 </ol>
 </div>
-I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än $360^\circ$. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
+I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
-Bild: Figur 3.2.4
+[[Bild:t_3_2_4.gif|center]]
 <div class="exempel">
 <ol type="a">
-<li>Vinklar $-55^\circ$ och $665^\circ$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$
+<li>Vinklarna $\,-55^\circ\,$ och $\,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom
-<li>Vinklarna $\frac{3\pi}{7}$ och $-\frac{11\pi}{7}$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$
+$$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$
-<li> Vinklarna $36^\circ$ och $216^\circ$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$
+<li>Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\,$ och $\,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom
+$$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$
+<li> Vinklarna $\,36^\circ\,$ och $\,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
+$$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$
 </ol>
 </div>
-==Avståndsformlen==
+==Avståndsformeln==
-Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $a$ och $b$ , och hypotenusa $c$ gäller att
+Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att
 <div class="regel">
+[[Bild:T_3_2_5.gif|right]]
 '''Pythagoras sats:'''
-$$c^2 = a^2 + b^2 \; \mbox{.}$$
+$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$
 </div>
-Bild: figur 3.2.5
 <div class="exempel">
 '''Exempel 3'''
-Bild: figur 3.2.6
+[[Bild:3_2_6.gif|right]]
-I triangel till höger är
+I triangeln till höger är
 $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$
-och därför är hypotenusan $c$ lika med
+och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med
-$$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$
+$$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$
 </div>
 '''Avståndsformeln:'''
-Avståndet $d$ mellan två puntker med koordinater $(x, y)$ och $(a, b)$ är
+Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\,$ och $\,(a, b)\,$ är
-$$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} $$
+$$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$
 </div>
-Denna formel kallas för avståndsformeln.
 Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.
-Bild: figur 3.2.7
+[[Bild:3_2_7.gif|center]]
-Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
+Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
 <div class="exempel">
 <ol type="a">
-<li>Avståndet mellan $(1,2)$ och $(3,1)$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$
+<li>Avståndet mellan $\,(1,2)\,$ och $\,(3,1)\,$ är
-<li>Avståndet mellan $(-1,0)$ och $(-2,-5)$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$
+$$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$
+<li>Avståndet mellan $\,(-1,0)\,$ och $\,(-2,-5)\,$ är
+$$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$
 </ol>
 </div>
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats]
 ==Cirklar==
-En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $r$ från en punkt $(a,b)$.
+En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.
-Bild:figur 3.2.8
+[[Bild:3_2_8.gif|center]]
-Avståndet $r$ kallan för cirkelns radie och punkten $(a,b)$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
+Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
-[[Bild:3_2_10.gif]]
+[[Bild:3_2_10.gif|center]]
 '''Exempel 5'''
-En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10
+En cirkelsektor är given i figuren till höger.  [[Bild:t_3_2_9.gif|right]]
 <ol type="a">
-<li>Bestäm cirkelbågens längd <br><br>
+<li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br>
-Medelpunktsvinkeln $50^\circ$ blir i radianer
+Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer
-$$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. }$$
+$$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$
-På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
+På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
-$$3 \cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. }$$
+$$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
 <li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br>
 Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$
-och det betyder att dess area är $\frac{5}{36}$ delar av cirkelns area som är $\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi$, d.v.s.
+och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\,$ delar av cirkelns area som är $\,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs.
-$$\frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. }$$
+$$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$
 </ol>
 </div>
-Bild:3.2.11
-En punkt $(x,y)$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $(a,b)$ och radie $r$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $r$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
+En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
 <div class="regel">
+[[Bild:T_3_2_11.gif|right]]
 '''Cirkelns ekvation:'''
-$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$
+$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
-</div>
-och kallas för cirkelns ekvation.
+</div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 6'''
+{|
+|-
+| width=50% valign=top |
 <ol type="a">
-<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(1,2)$ och radie $\sqrt{9} = 3$.<br><br>
+<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>
-<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1$ kan skriva som $(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(0,1)$ och radie $\sqrt{1} = 1$.<br><br>
-<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5$ kan skrivas som $(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(-1,3)$ och radie $\sqrt{5} \approx 2{,}236$.
 </ol>
+| width=45% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_12.gif|right]]
+| width=5% valign=top |
-Bild: figur 3.2-12-14
+|}
+{|
+|-
+| width=50% valign=top |
+<ol type="a" start=2>
+<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br>
+</ol>
+| width=45% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_13.gif|right]]
+| width=5% valign=top |
+|}
+{|
+|-
+| width=60% valign=top |
+<ol type="a" start=3>
+<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.
+</ol>
+| width=40% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_14.gif|right]]
+|}
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 7'''
+'''Exempel 7'''
+{|
+|-
+| width=40% valign=top |
 <ol type="a">
-<li>Ligger punkten $(1,2)$ på cirkeln $(x-4)^2 +y^2=13$? <br><br>
+<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
-Stoppar vi in punktens koordinater $x=1$ och $y=2$ i cirkelns ekvation har vi att
+Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att <br>
-$$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\; \mbox{.}$$
+$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $ <br>
+$=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$ <br>
 Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
-<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $(3,4)$ och innehåller punkten $(1,0)$.<br><br>
+</ol>
-Eftersom punkten $(1,0)$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $(1,0)$ till medelpunkten $(3,4)$. Avståndsformlen ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \; \mbox{.}$$
+| width=60% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_15.gif|right]]
+|}
+{|
+|-
+| width=40% valign=top |
+<ol type="a" start=2>
+<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>
+Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
+$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$
 Cirkelns ekvation är därför
 $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$
 </ol>
+| width=60% valign=top |
-Bild: 3.2.15 och 3.2.16
+[[Bild:t_3_2_16.gif|right]]
+|}
 </div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 8'''
-Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0$.
+Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.
-Vi försöker skriva om cirkelns ekvation på formen
+Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
 $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$
-för då kan vi direkt avläsa att medelpunken $(a,b)$ och radien $r$.
+för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.
-Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $x$ i vänsterledet
+Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet
-$$ \underline{x^2-2x} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$
+$$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$
 (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).
 Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$
-$$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1$$
+$$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$
 Vänsterledet är alltså lika med
 $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$
-och flyttar vi över $4$ till högerledet är cirkelns ekvation
+och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
-$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \; \mbox{.}$$
+$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$
-Vi avläser att medelpunkten är $(1,2)$ och radien är $\sqrt{4}= 2$.
+Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.
-[[Bild:766790.gif]]
+[[Bild:766790.gif||center]]
 </div>
+[[4.1 Övningar|Övningar]]
 '''Råd för inläsning'''
-'''Tänk på att:'''
+'''Grund- och slutprov'''
-Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband.
+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
+'''Tänk på att:'''
 för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
-[http://www.theducation.se/kurser/gymab/bgeometri_sam/bgeometri_sam.htm Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon]
 [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_sats Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia]
 [http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf  Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln] (Flash)
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex31_randvinkelsatsen/index.html Experimentera med Randvinkelsatsen]
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html Experimentera med Pythagoras sats]
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex38_fyrhorning/fyrhorning.html Experimentera med vinkelsumman i en fyrhörning]
 </div>
-''' © Copyright 2007, math.se'''