4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

Version från den 24 april 2007 kl. 11.37; Lina (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Innehåll

4.1 Vinklar och cirklar

Innehåll:

  • Vinkelmått
  • Avståndsformeln i planet
  • Cirkelns ekvation

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Omvandla mellan grader, radianer och varv
  • Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor
  • Beräkna avståndet mellan två punkter i planet
  • Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer
  • Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
  • Lösa geometriska problem som innehåller cirklar


Övningar

Teori

Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

  • Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del $1$ grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

Bild: figur 3.2.1

  • Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $2\pi$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $2\pi r$, där $r$ är cirkelns radie.

Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3


Ett helt varv är $360^\circ$ eller $2\pi$ radianer och det gör att $$1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }$$ $$1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$$ Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

  1. $30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer }$

  2. $ \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ$

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än $360^\circ$. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Bild: Figur 3.2.4

Exempel 2

  1. Vinklar $-55^\circ$ och $665^\circ$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$
  2. Vinklarna $\frac{3\pi}{7}$ och $-\frac{11\pi}{7}$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$
  3. Vinklarna $36^\circ$ och $216^\circ$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$

Avståndsformlen

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $a$ och $b$ , och hypotenusa $c$ gäller att

$$c^2 = a^2 + b^2 \; \mbox{.}$$

Bild: figur 3.2.5

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangel till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $c$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet $d$ mellan två puntker med koordinater $(x, y)$ och $(a, b)$ är $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} $$

Denna formel kallas för avståndsformeln.

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Bild: figur 3.2.7

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

  1. Avståndet mellan $(1,2)$ och $(3,1)$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$
  2. Avståndet mellan $(-1,0)$ och $(-2,-5)$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$

Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats

Cirklar

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $r$ från en punkt $(a,b)$.

Bild:figur 3.2.8

Avståndet $r$ kallan för cirkelns radie och punkten $(a,b)$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

Bild:3_2_10.gif


Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10

  1. Bestäm cirkelbågens längd

    Medelpunktsvinkeln $50^\circ$ blir i radianer $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. }$$ På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, $$3 \cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. }$$
  2. Bestäm cirkelsektorns area.

    Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$ och det betyder att dess area är $\frac{5}{36}$ delar av cirkelns area som är $\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi$, d.v.s. $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. }$$

Bild:3.2.11

En punkt $(x,y)$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $(a,b)$ och radie $r$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $r$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som

Cirkelns ekvation: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$

och kallas för cirkelns ekvation.

Exempel 6

  1. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(1,2)$ och radie $\sqrt{9} = 3$.

  2. $x^2 + (y-1)^2 = 1$ kan skriva som $(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(0,1)$ och radie $\sqrt{1} = 1$.

  3. $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5$ kan skrivas som $(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(-1,3)$ och radie $\sqrt{5} \approx 2{,}236$.

Bild: figur 3.2-12-14

Exempel 7

  1. Ligger punkten $(1,2)$ på cirkeln $(x-4)^2 +y^2=13$?

    Stoppar vi in punktens koordinater $x=1$ och $y=2$ i cirkelns ekvation har vi att $$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\; \mbox{.}$$ Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.

  2. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $(3,4)$ och innehåller punkten $(1,0)$.

    Eftersom punkten $(1,0)$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $(1,0)$ till medelpunkten $(3,4)$. Avståndsformlen ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \; \mbox{.}$$ Cirkelns ekvation är därför $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$

Bild: 3.2.15 och 3.2.16

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0$.


Vi försöker skriva om cirkelns ekvation på formen $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$ för då kan vi direkt avläsa att medelpunken $(a,b)$ och radien $r$.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $x$ i vänsterledet $$ \underline{x^2-2x} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$ $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1$$

Vänsterledet är alltså lika med $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$

och flyttar vi över $4$ till högerledet är cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \; \mbox{.}$$

Vi avläser att medelpunkten är $(1,2)$ och radien är $\sqrt{4}= 2$.

Bild:766790.gif


Råd för inläsning

Tänk på att:

Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon

Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia

Läs mer i Mathworld om cirkeln


Länktips

Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash)

Experimentera med Randvinkelsatsen

Experimentera med Pythagoras sats

Experimentera med vinkelsumman i en fyrhörning


© Copyright 2006, KTH Matematik




Personliga verktyg