4.3 Övningar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 30 april 2007 kl. 14.04 (redigera)
Annagf (Diskussion | bidrag)
(Övning 4.3:7)
← Gå till föregående ändring
Nuvarande version (31 maj 2007 kl. 07.05) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag)

 
(20 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +
==Övning 4.3:1== ==Övning 4.3:1==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Bestäm de vinklar $v$ mellan $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ och $2\pi$ som uppfyller+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>+<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>+<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>+<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
Rad 17: Rad 18:
<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div> <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>+Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
Rad 32: Rad 33:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_1a.gif]]+Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_1a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_1b.gif]]+Lösning till delfråga b)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_1b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_1c.gif]]+Lösning till delfråga c)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_1c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 54: Rad 76:
==Övning 4.3:2== ==Övning 4.3:2==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Bestäm de vinklar $v$ mellan 0 och $\pi$ som uppfyller+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 69: Rad 91:
<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div> <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>+Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 83: Rad 105:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_2a.gif]]+Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_2a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_2b.gif]]+Lösning till delfråga b)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_2b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 98: Rad 134:
==Övning 4.3:3== ==Övning 4.3:3==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Antag att $-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ och att $\sin{v} = a$. Uttryck med hjälp av $a$+Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(-v)}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(\pi-v)}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+
-<td class="ntext">$\cos{v}$</td>+
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr> 
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>+</tr>
-<td class="ntext">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>+<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 124: Rad 161:
<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div> <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>+Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$-a$</td>+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$a$</td>+<td class="ntext" width="50%">$a$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+
-<td class="ntext">$\sqrt{1-a^2}$</td>+
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr> 
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\sqrt{1-a^2}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$-a$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>+</tr>
-<td class="ntext">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>+<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 149: Rad 187:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_3a.gif]]+Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_3a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_3b.gif]]+Lösning till delfråga b)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_3b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 164: Rad 216:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_3c.gif]]+Lösning till delfråga c)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_3c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d<br />[[Bild:4_3_3d.gif]]+Lösning till delfråga d)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_3d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 179: Rad 245:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga e<br />[[Bild:4_3_3e.gif]]+Lösning till delfråga e)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_3e.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning f&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga f<br />[[Bild:4_3_3f.gif]]+Lösning till delfråga f)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_3f.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 194: Rad 274:
==Övning 4.3:4== ==Övning 4.3:4==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Antag att $0 \leq v \leq \pi$ och att $\cos{v}=b$. Uttryck med hjälp av $b$+Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin^2{v}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+
-<td class="ntext">$\sin{2v}$</td>+
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr> 
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\cos{2v}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>+</tr>
-<td class="ntext">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>+<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 220: Rad 301:
<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div> <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>+Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$1-b^2$</td>+<td class="ntext" width="50%">$1-b^2$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sqrt{1-b^2}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+
-<td class="ntext">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>+
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr> 
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$2b^2-1$</td>+<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>+<td class="ntext" width="50%">$2b^2-1$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>+</tr>
-<td class="ntext">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>+<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 245: Rad 327:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_4a.gif]]+Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_4a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_4b.gif]]+Lösning till delfråga b)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_4b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 260: Rad 356:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_4c.gif]]+Lösning till delfråga c)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_4c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d<br />[[Bild:4_3_4d.gif]]+Lösning till delfråga d)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_4d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 275: Rad 385:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga e<br />[[Bild:4_3_4e.gif]]+Lösning till delfråga e)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_4e.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning f&nbsp;</DIV>+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</DIV>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga f<br />[[Bild:4_3_4f.gif]]+Lösning till delfråga f)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_4f.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 290: Rad 414:
==Övning 4.3:5== ==Övning 4.3:5==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-För en spetsig vinkel $v$ i en triangel gäller att $\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}$. Bestäm $\cos{v}$ och $\tan{v}$.+För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
</div> </div>
Rad 298: Rad 422:
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.</td>
-<td class="ntext">$\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}$</td>+
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 309: Rad 432:
<div class=NavHead>L&ouml;sning&nbsp;</div> <div class=NavHead>L&ouml;sning&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-[[Bild:4_3_5.gif]]+<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_5-1(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_5-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 316: Rad 450:
<div class="ovning"> <div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="left">+<tr align="left" valign="top">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">Bestäm $\sin{v}$ och $\tan{v}$ om $\cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}$ och $\displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi$.</td>+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>+<tr align="left" valign="top">
-<tr align="left">+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
-<td class="ntext">Bestäm $\cos{v}$ och $\tan{v}$ om $\sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}$ och $v$ ligger i den andra kvadranten.</td>+
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>+<tr align="left" valign="top">
-<tr align="left">+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
-<td class="ntext">Bestäm $\sin{v}$ och $\cos{v}$ om $\tan{v}=3$ och $\pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}$</td>+
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 337: Rad 469:
<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div> <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>+Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$ och $\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}$ och $\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$ och $\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 359: Rad 491:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_6a.gif]]+Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_6a-1(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_6a-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_6b.gif]]+Lösning till delfråga b)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_6b-1(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_6b-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_6c.gif]]+Lösning till delfråga c)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_6c-1(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_6c-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 381: Rad 549:
==Övning 4.3:7== ==Övning 4.3:7==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Bestäm $\sin{(x+y)}$ om+Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}, \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}$ och $x,y$ är vinklar i första kvadranten.</td>+<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr> 
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}, \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}$ och $x,y$ är vinklar i första kvadranten.</td>+<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 399: Rad 566:
<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div> <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>+Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
</tr> </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr> 
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 416: Rad 582:
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_7a.gif]]+Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_7a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_7b.gif]]+Lösning till delfråga b)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_7b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 + 
 +==Övning 4.3:8==
 +<div class="ovning">
 +Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>a)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>b)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>c)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>d)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_8a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 + 
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_8b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 + 
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_8c-1(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_8c-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 + 
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a)
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_8d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 + 
 +==Övning 4.3:9==
 +<div class="ovning">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>
 +Visa "Feynmans likhet"
 +$$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$
 +(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +<table width="100%">
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_9-1(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +<tr>
 +<td align="center">
 +[[Bild:4_3_9-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>

Nuvarande version

Innehåll

[redigera] Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller

a) $\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$ b) $\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$ c) $\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$

[redigera] Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller

a) $\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$ b) $\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$

[redigera] Övning 4.3:3

Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$

a) $\sin{(-v)}$ b) $\sin{(\pi-v)}$
c) $\cos{v}$ d) $\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$
e) $\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$ f) $\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$



[redigera] Övning 4.3:4

Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$

a) $\sin^2{v}$ b) $\sin{v}$
c) $\sin{2v}$ d) $\cos{2v}$
e) $\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$ f) $\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$



[redigera] Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.

[redigera] Övning 4.3:6

a) Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.
b) Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.

[redigera] Övning 4.3:7

Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om

a) $\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
b) $\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.

[redigera] Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) $\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$
b) $\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$
c) $\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$
d) $\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$

[redigera] Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)

Personliga verktyg