4.3 Trigonometriska samband

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 24 april 2007 kl. 16.21 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)
(Symmetrier)
← Gå till föregående ändring
Versionen från 24 april 2007 kl. 16.23 (redigera) (ogör)
Lina (Diskussion | bidrag)
(Symmetrier)
Gå till nästa ändring →
Rad 69: Rad 69:
<u> Spegling i $x$-axeln </u> <u> Spegling i $x$-axeln </u>
 +<div class="exempel">
[[Bild:3_4_03.gif|left]] [[Bild:3_4_03.gif|left]]
Rad 82: Rad 83:
 +</div>
 +<u> Spegling i linjen $y=x$ </u>
 +<div class="exempel">
- 
- 
- 
-<u> Spegling i linjen $y=x$ </u> 
[[Bild:3_4_05.gif|left‎]] [[Bild:3_4_05.gif|left‎]]
Vinkeln $v$ ändras till vinkeln $\frac{\pi}{2} - v$ Vinkeln $v$ ändras till vinkeln $\frac{\pi}{2} - v$
Rad 99: Rad 99:
- +</div>

Versionen från 24 april 2007 kl. 16.23

Innehåll

4.3 Trigonometriska samband

Innehåll:

  • Trigonometriska samband

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Härleda trigonometriska samband från symmetrier i enhetscirkeln
  • Skriva upp (utantill) och använda följande trigonometriska samband; trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformler, dubbla och halva vinkeln


Övningar

Teori

Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangens-värden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriskan samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k trigonometriska ettan och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.

Trigometriska ettan

Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln (blå) nedan visar att

$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1$,

vilket brukar skrivas $ \sin^2 v + \cos^2 v = 1$.





Symmetrier

Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.

$\cos (-v) = \cos v$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad$ $\cos \left(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \right) = \sin v$
$\sin (-v) = - \sin v$ $\sin \left(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \right) = \cos v$
$\cos (\pi-v) = - \cos v$ $\cos \left(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) = - \sin v$
$\sin (\pi-v) = \sin v$ $\sin \left( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) = \cos v$


Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.

Spegling i $x$-axeln


När en vinkel $v$ speglas i $x$-axeln blir den $-v$.

Speglingen påverkar inte $x$-koordinaten medan $y$-koordinaten byter tecken $$\cos(-v) = \cos v$$ $$\sin (-v) = - \sin v$$




Spegling i linjen $y=x$

left‎ Vinkeln $v$ ändras till vinkeln $\frac{\pi}{2} - v$

(spegelbilden bildar vinkeln $v$ mot den postiva $y$-axeln).

Speglingen gör att $x$-koordinaterna byter plats $$\cos \left(\frac{\pi}{2} - v \right) = \sin v$$ $$\sin \left(\frac{\pi}{2} - v \right) = \cos v$$





För att spegla i x-axeln kan vi byta ut en positiv vinkel v mot en negativ –v. Detta ger oss följande samband:


<img src="object49972/bilder/3_4/3_4_03.gif"> x-koordinaten påverkas ej av speglingen, d.v.s. $\cos (-v) = \cos v$.


y-koordinaten byter tecken vid speglingen, d.v.s. $\sin (-v) = - \sin v$.

Funktioner som har samma värde oavsett argumentets tecken kallas jämna funktioner. För jämna funktioner gäller $f(-x) = f(x)$. Vi ser att cosinus är en jämn funktion. En annan jämn funktion är $f(x) = x^2$.

Funktioner som byter tecken men har samma absolutbelopp, om argumentet byter tecken, kallas udda funktioner.

För udda funktioner gäller $f(-x) = - f(x)$. Sinus är en udda funktion. En annan udda funktion är $f(x) = x$. Men många funktioner saknar sådana symmetrier, och är varken udda eller jämna. Exempel: $f(x) = x + 1,\; f(x) = e^x$ etc.

Vi kan studera flera symmetrier med hjälp av speglingar. För att spegla i y-axeln kan vi byta ut argumentet v mot $\pi – v$. Då ser vi följande samband:

<img src="object49972/bilder/3_4/3_4_04.gif"> x-koordinaten byter tecken, dvs $\cos (\pi – v) = - \cos v$.


y-koordinaten påverkas ej, dvs $\sin (\pi – v) = \sin v$.

För att spegla i linjen y=x kan vi byta ut argumentet v mot $\displaystyle\frac{\pi}{2} – v$. Detta ger oss:


<img src="object49972/bilder/3_4/3_4_05.gif"> x-koordinaten blir y-koordinat, dvs $\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – v\right) = \cos v$.


y-koordinaten blir x-koordinat, dvs $\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – v\right) = \sin v$.

Alternativt kan man få dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där $\cos v$ uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen så att sinuskurvan passar. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller sig att skriva $\cos v = \sin (v + \pi / 2)$. För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på v.

<img src="ppStdFiles2261/766669.gif" hspace='0' vspace='0' />
Kontroll: $\cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)$

Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln

Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\sin(u+v)$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus ser de ut så här:


$\qquad\qquad\sin(u + v) = \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v$

$\qquad\qquad\sin(u – v) = \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v$

$\qquad\qquad\cos(u + v) = \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v$

$\qquad\qquad\cos(u – v) = \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v$


Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\sin 2v$ eller $\cos 2v$, så kan man genom att skriva $\sin(v + v)$ eller $\cos(v + v)$ och använda additionsformlerna ovan få följande formler för dubbla vinkeln:


$\qquad\qquad\sin 2v = 2 \sin v \cos v$,

$\qquad\qquad\cos 2v = \cos^2 v – \sin^2 v$.

Ur detta kan vi få formler för halva vinkeln. Genom att byta ut 2v mot v, och följdaktligen v mot v / 2, i formeln för $\cos 2v$ får vi

$\qquad\qquad\displaystyle\cos v = \cos^2 \frac{v}{2} – \sin^2 \frac{v}{2}$.


Vill vi ha en formel för $\displaystyle\sin\frac{v}{2}$ så använder vi sedan den trigonometriska ettan för att bli av med $\displaystyle\cos^2\frac{v}{2}$


$\qquad\qquad\displaystyle\cos v = 1 – \sin^2 \frac{v}{2} – \sin^2\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2 \frac{v}{2} $

d.v.s.

$\qquad\qquad\displaystyle \sin^2\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}$.


På motsvarande sätt kan vi med trigonometriska ettan göra oss av med $\displaystyle\sin^2\frac{v}{2}$. Då får vi istället

$\qquad\qquad\displaystyle\cos^2\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}$.

Råd för inläsning

Tänk på att:

Enhetscirkeln är ett ovärderligt hjälpmedel för att hitta trigonometriska samband. Sådana finns det gott om och det är ingen idé att försöka lära sig alla utantill. Det är också tidsödande att behöva slå upp och leta fram dem hela tiden. Därför är det mycket bättre att du lär dig använda enhetscirkeln.

Den allra mest kända trigonometriska formeln är den s k trigonometriska ettan. Den gäller för alla vinklar, inte bara för spetsiga. Den hänger ihop med Pythagoras sats.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om trigonometriska formler i Theducations gymnasielexikon

Läs mer om area-, sinus och cosinussatserna i Theducations gymnasielexikon

Läs mer om trigonometri i Bruno Kevius matematiska ordlista


Länktips

Experimentera med cosinus "lådan"

Testa dig själv i trigonometri - slå ditt eget ekord


© Copyright 2006, KTH Matematik




Personliga verktyg