3.2 Polär form

Exempel 1

Givet \displaystyle z=2+i och \displaystyle w=-3-i. Markera \displaystyle z, \displaystyle w, \displaystyle \overline{z}, \displaystyle \overline{z}-\overline{w} och \displaystyle z-w i det komplexa talplanet.

Vi har att

• \displaystyle \overline{z}=2-i
• \displaystyle \overline{w}=-3+i
• \displaystyle z-w=2+i-(-3-i)=5+2i
• \displaystyle \overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})

Exempel 2

Markera i det komplexa talplanet alla tal \displaystyle z som uppfyller följande villkor:

1. \displaystyle \mathop{\rm Re} z \ge 3
2. \displaystyle -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2

Den första olikheten definierar området i figuren till vänster nedan och den andra olikheten området i figuren till höger nedan.

Exempel 3

Markera följande talmängder i det komplexa talplanet:

Exempel 4

Markera i det komplexa talplanet alla tal \displaystyle z som uppfyller villkoren

1. \displaystyle \, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.
   
   Den första olikheten ger punkterna på och innanför cirkeln med radie 3 och medelpunkt i \displaystyle 2i. Den andra olikheten ger ett vertikalt band av punkter med realdel mellan 1 och 2. Det område som uppfyller de båda olikheterna ges av de punkter som samtidigt ligger inom cirkeln och bandet.




2. \displaystyle \, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|
   
   Ekvationen kan skrivas \displaystyle |\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|. Man ser då att \displaystyle z ska ligga på samma avstånd från \displaystyle -1 som från \displaystyle 2. Detta villkor uppfylls av alla tal \displaystyle z som har realdel \displaystyle 1/2.

Exempel 5

Skriv följande komplexa tal i polär form:

1. \displaystyle \,\,-3
   
   Vi har att \displaystyle |\,-3\,|=3 och \displaystyle \arg (-3)=\pi, vilket betyder att \displaystyle \ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi).
2. \displaystyle \,i
   
   Vi har att \displaystyle |\,i\,|=1 och \displaystyle \arg i = \pi/2 så i polär form är \displaystyle \ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,.
3. \displaystyle \,1-i
   
   Formeln för beloppet av ett komplext tal ger att \displaystyle |\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Det komplexa talet ligger i den fjärde kvadranten och bildar vinkeln \displaystyle \pi/4 med den positiva reella axeln, vilket ger att \displaystyle \arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4. Alltså är \displaystyle \ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr).
4. \displaystyle \,2\sqrt{3}+2i
   
   Beloppet är enklast att räkna ut

   \displaystyle |\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}

   Om vi kallar argumentet för \displaystyle \alpha så uppfyller det sambandet

   \displaystyle \tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

   och eftersom talet ligger i den första kvadranten (positiv real- och imaginärdel) så är \displaystyle \alpha=\pi/6 och vi har att

   \displaystyle 2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}

Exempel 6

Beräkna följande uttryck och genom att skriva om på polär form:

1. \displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)
   
   Vi skriver täljaren och nämnaren i polär form

   \displaystyle \begin{align*}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] \Bigr(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}

   och då följer att

   \displaystyle \begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[4pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}




2. \displaystyle (-2-2i)(1+i)
   
   Faktorerna i uttrycket skriver vi i polär form

   \displaystyle \begin{align*}(-2-2i)&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] (1+i)&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

   Genom att utföra multiplikationen i polär form får vi att

   \displaystyle \begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 7

1. Beräkna \displaystyle iz och \displaystyle \frac{z}{i} om \displaystyle \ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr). Svara på polär form.
   
   Eftersom \displaystyle \ i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ så är

   \displaystyle \begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}




2. Beräkna \displaystyle iz och \displaystyle \frac{z}{i} om \displaystyle \ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,. Svara på polär form.
   
   Använder vi den polära formen av \displaystyle i så fås att

   \displaystyle \begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Vi ser här att multiplikation med i innebär en rotation \displaystyle \pi/2 moturs, medan division med i medför en rotation \displaystyle \pi/2 medurs.