5.2 Relativistiska storheter
FörberedandeFysik
| Rad 45: | Rad 45: | ||
Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten <math>\frac{c}{\sqrt2}</math>. Efter krocken har vi istället en kropp med vilomassa 3 kg. Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha? | Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten <math>\frac{c}{\sqrt2}</math>. Efter krocken har vi istället en kropp med vilomassa 3 kg. Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha? | ||
| + | |||
| + | <b>Relativistisk lösning:</b> | ||
| + | |||
| + | Vi vet att <math>p_{tot}=\sum \gamma mv=konstant</math>, alltså | ||
| + | |||
| + | <math>\displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv = \sum \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =\frac{2 \, \textrm{kg} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-1/2}}+\frac{1 \, \textrm{kg} \cdot (-\frac{c}{\sqrt{2}})}{\sqrt{1-1/2}}=(2-1)c \, \textrm{kg}=c \, \textrm{kg}</math> | ||
| + | |||
| + | Eftersom rörelsemängden är konstant så kommer vi efter kollisionen ha ekvationen | ||
| + | |||
| + | <math> \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv' = \frac{3 \, \textrm{kg} \cdot v'}{\sqrt{1-(v'/c)^2}}</math> | ||
| + | |||
| + | varifrån vi kan lösa ut <math>v'</math> som | ||
| + | <math>v'=\displaystyle\frac{p_{tot}}{\sqrt{m^2+p_{tot}^2/c^2}}=\frac{c}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{c}{\sqrt{10}} \approx 0,316c.</math> | ||
Versionen från 1 december 2017 kl. 14.37
| Teori | Övningar |
Mål och innehåll
Innehåll
- Relativistisk rörelsemängd
- Relativistisk energi
- Energitriangeln
- När behöver man räkna relativistiskt?
- Bestämning av rörelsemängd - praktisk tillämpning
Läromål
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Veta när man behöver räkna relativistiskt respektive icke-relativistiskt
- Skilja mellan relativistisk och icke relativistisk energi
- Förklara varför \displaystyle E = E_k = pc för masslösa partiklar
- Definiera relativistiska energin och Einsteins relation
- Kunna räkna på enkla exempel med energi och rörelsemängd
Relativistisk rörelsemängd
I klassisk fysik definierar vi rörelsemängden \displaystyle p genom ekvationen \displaystyle p=mv. Einstein visade dock att det korrekta uttrycket är,
\displaystyle p=\gamma mv.
Notera återigen att när hastigheten är låg är \displaystyle \gamma \approx 1, så att \displaystyle p \approx mv, i enlighet med den klassiska fysiken.
Lagen om den totala rörelsemängdens bevarande gäller fortfarande men får ett annat utseende när vi räknar relativistiskt. Eftersom \displaystyle p = \gamma mv får vi nu istället
\displaystyle \sum \gamma mv = \text{konstant},
och inte som förut att \displaystyle \sum mv = \text{konstant}. Vi får olika konstanter om vi befinner oss i olika inertialsystem, men det gäller alltid att den totala rörelsemängden är konstant.
Exempel - rörelsemängdens bevarande
Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten \displaystyle \frac{c}{\sqrt2}. Efter krocken har vi istället en kropp med vilomassa 3 kg. Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha?
Relativistisk lösning:
Vi vet att \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv=konstant, alltså
\displaystyle \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv = \sum \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =\frac{2 \, \textrm{kg} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-1/2}}+\frac{1 \, \textrm{kg} \cdot (-\frac{c}{\sqrt{2}})}{\sqrt{1-1/2}}=(2-1)c \, \textrm{kg}=c \, \textrm{kg}
Eftersom rörelsemängden är konstant så kommer vi efter kollisionen ha ekvationen
\displaystyle \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv' = \frac{3 \, \textrm{kg} \cdot v'}{\sqrt{1-(v'/c)^2}}
varifrån vi kan lösa ut \displaystyle v' som \displaystyle v'=\displaystyle\frac{p_{tot}}{\sqrt{m^2+p_{tot}^2/c^2}}=\frac{c}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{c}{\sqrt{10}} \approx 0,316c.
