FörberedandeFysik

Teori

Övningar

Relativistisk rörelsemängd

I klassisk fysik definierar vi rörelsemängden \displaystyle p genom ekvationen \displaystyle p=mv. Einstein visade dock att det korrekta uttrycket är,

\displaystyle p=\gamma mv.

Notera återigen att när hastigheten är låg är \displaystyle \gamma \approx 1, så att \displaystyle p \approx mv, i enlighet med den klassiska fysiken.

Lagen om den totala rörelsemängdens bevarande gäller fortfarande men får ett annat utseende när vi räknar relativistiskt. Eftersom \displaystyle p = \gamma mv får vi nu istället

\displaystyle \sum \gamma mv = \text{konstant},

och inte som förut att \displaystyle \sum mv = \text{konstant}. Vi får olika konstanter om vi befinner oss i olika inertialsystem, men det gäller alltid att den totala rörelsemängden är konstant.

Exempel - rörelsemängdens bevarande

Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten \displaystyle \frac{c}{\sqrt2}. Efter krocken har vi istället en kropp med vilomassa 3 kg. Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha?

Relativistisk lösning:

Vi vet att \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv=konstant, alltså

\displaystyle \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv = \sum \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =\frac{2 \, \textrm{kg} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-1/2}}+\frac{1 \, \textrm{kg} \cdot (-\frac{c}{\sqrt{2}})}{\sqrt{1-1/2}}=(2-1)c \, \textrm{kg}=c \, \textrm{kg}

Eftersom rörelsemängden är konstant så kommer vi efter kollisionen ha ekvationen

\displaystyle \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv' = \frac{3 \, \textrm{kg} \cdot v'}{\sqrt{1-(v'/c)^2}}

varifrån vi kan lösa ut \displaystyle v' som \displaystyle v'=\displaystyle\frac{p_{tot}}{\sqrt{m^2+p_{tot}^2/c^2}}=\frac{c}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{c}{\sqrt{10}} \approx 0,316c.