5.2 Relativistiska storheter
FörberedandeFysik
Teori | Övningar |
Mål och innehåll
Innehåll
- Relativistisk rörelsemängd
- Relativistisk energi
- Energitriangeln
- När behöver man räkna relativistiskt?
- Bestämning av rörelsemängd - praktisk tillämpning
Läromål
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Veta när man behöver räkna relativistiskt respektive icke-relativistiskt
- Skilja mellan relativistisk och icke relativistisk energi
- Förklara varför
E=Ek=pc för masslösa partiklar - Definiera relativistiska energin och Einsteins relation
- Kunna räkna på enkla exempel med energi och rörelsemängd
Relativistisk rörelsemängd
I klassisk fysik definierar vi rörelsemängden
mv
Notera återigen att när hastigheten är låg är 1
mv
Lagen om den totala rörelsemängdens bevarande gäller fortfarande men får ett annat utseende när vi räknar relativistiskt. Eftersom mv
mv=konstant
och inte som förut att mv=konstant
Exempel - rörelsemängdens bevarande
Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten 2
Relativistisk lösning:
Vi vet att mv=konstant
mv=
mv
1−v2
c2=2kg
c
2
1−1
2+
1−1
21kg
(−c
2)=(2−1)ckg=ckg
Eftersom rörelsemängden är konstant så kommer vi efter kollisionen ha ekvationen
mv
=3kg
v
1−(v
c)2
varifrån vi kan lösa ut =ptot
m2+p2tot
c2=c
32+1=c
10
0
316c
Inkorrekt icke-relativistisk lösning:
Räknar vi istället icke-relativistiskt får vi att
mv=2kg
c
2+1kg
−c
2
=c
2kg
Efter kollisionen
mv
=3kg
v
Då får vi sluthastigheten
=mptot=3c
2=c3
2
0
236c
Vi ser att den är betydligt lägre än den faktiska hastigheten 316c
Relativistisk energi
Newtons andra lag lyder
”Rörelseförändringen är proportionell mot kraften, och sker i kraftens riktning.”
vilket vi kan skriva som
I klassisk fysik använder vi med gott samvete formeln mv
mv)=ddt
mv
1−v2
c2
Eftersom kraftekvationen har ändrats ändras också uttrycket för kinetisk energi. Vi utgår från att partikeln är stillastående vid start så att den kinetiska energin är exakt det arbete som vår kraft uträttar på partikeln. Energi kan allmänt skrivas som kraften integrerat över en sträcka. Vi sätter in vårt resultat från kraftekvationen i integralen och får
Fds=
dtd(
mv)dtdsdt=
mvd(
v)
Att räkna ut denna integral kräver en del kunskap om integration som vi inte förutsätter, men en fullständig härledning för den intresserade finns på Wikipedia. Om man utför integrationen får man detta mycket viktiga resultat
−1)mc2
Förutom att rörelsemängd bevaras vet vi också att den totala energin bevaras. Eftersom även detta gäller i alla inertialsystem kunde Einstein visa att den totala energin
mc2
Detta betyder att då en partikel står stilla, det vill säga att =1
där vi definierar viloenergin
Denna energi är inneboende i varje partikel med massa och det är energi av denna typ som frigörs vid kärnkraftverk, i solen och i atombomber.
Exempel - massomvandling
Det här är ett rent tankeexperiment som aldrig kan ske i verkligheten, men det kan illustrera hur mycket energi som finns lagrad som viloenergi. Vi tänker oss att vi har ett föremål med massan 0,5 g som annihileras (kolliderar och förintas) med ett likadant föremål gjort av antimateria. Det som händer då är att all viloenergi, det vill säga ett gram, omvandlas enligt
Lösning:
Den totala massan som omvandlas är c2
−1)mklotc2
=1+Ekmklotc2=1+61
10−3
1
000167
Vi får då hastigheten
1−1
2
0
018c
vilket är vansinnigt snabbt, det är alltså ungefär 5
106
Exempel - viloenergins storlek
Viloenergin är nästan alltid enormt mycket större än den kinetiska energin. Hur snabbt måste ett föremål röra sig för att den kinetiska energin ska vara lika stor som viloenergin?
Lösning:
Om
−1)mc2=mc2
så att =2
1−1
2=2
3c
0
866c
Notera att detta är helt oberoende av föremålets massa.
Energitriangeln
Vi ska nu härleda ett samband mellan energin
mv)2=m2v21−c2v2
Totala energin mc2
mc2)2=m2c41−c2v2=m2c41−v2
c2
1−c2v2+c2v2
==m2c4+m2c41−c2v2c2v2=m2c4+p2c2=E02+p2c2
där vi utnyttjat vårt uttryck för
Detta är en mycket viktig formel kallad energitriangeln, så vi presenterar den igen för tydlighetens skull:
Vi ser även att eftersom mv
mc2
m=p
v=E
c2
vilket är ett uttryck som är oberoende av massan. Det är ett intressant resultat därför att detta är ett uttryck som gäller även för masslösa partiklar, till skillnad från uttrycken mc2
mv
för masslösa partiklar. Genom att använda v
Fotoner är ett viktigt exempel på masslösa partiklar.
När behöver man räkna relativistiskt?
Vid låga hastigheter är 1
såattp
mv
mc2
mc2+mv2
2
1c
c
Ek
pc
Bestämning av rörelsemängd - praktisk tillämpning
För att undersöka en laddad, relativistisk partikels rörelse används ofta ett homogent magnetfält som böjer av partikeln i en cirkulär rörelse med radien
mv2
vilket också ger
mv=qrB
där såväl avböjningens radie
Råd för inläsning
Tänk på att...
Alla känner till gravitationen, men få, utom fysikerna, funderar över den. I dag förs en allt intensivare jakt på gravitonen, den okända partikel som kan förklara gravitationen och som tros resa genom universum som rester av exploderade supernovor.
Lästips
För dig som behöver en längre förklaring eller vill fördjupa dig ytterligare vil vi tipsa om:
- Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley kapitel 37