Övningar Kapitel 2
Förberedande kurs i matematik
Innehåll |
Avsnitt 2.1 Polynom och Polynomekvationer
Övning 2.1.1
Är 3 ett polynom?
Hämtar...Övning 2.1.2
Hur många reella rötter har följande polynom?
| a) | \displaystyle 3x+2 | b) | \displaystyle x^2-2x-3 | c) | \displaystyle x^2+4x+5 |
Övning 2.1.3
Låt \displaystyle p(z)=z^3+z. Hur många komplexa rötter har \displaystyle p(z)? Hur många reella rötter har det? Hitta alla rötter till \displaystyle p(z).
Kan ett polynom ha fler reella än komplexa rötter?
Övning 2.1.4
Lös ekvationen \displaystyle -2x^2+10x=12 med hjälp av pq-formeln.
Övning 2.1.5*
Låt \displaystyle p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15 . Hitta alla dess rötter.
Övning 2.1.6*
Förenkla \displaystyle (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö)
Avsnitt 2.2 Faktorsatsen och polynomdivision
Övning 2.2.1
Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera.
| a) | \displaystyle x^2-4 | b) | \displaystyle x^2-6x+9 | c) | \displaystyle x^3+4x^2+4x |
Övning 2.2.2
Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till \displaystyle x^2+ix.
Övning 2.2.3
Låt \displaystyle x^2+ax+b vara ett polynom. Vad ska koefficienterna \displaystyle a och \displaystyle b vara för att \displaystyle 2 och \displaystyle 5 ska vara rötter till polynomet?
Övning 2.2.4*
Låt \displaystyle p(x) vara ett polynom som satisfierar \displaystyle p(-x)=-p(x) . Då \displaystyle p(x) delas med \displaystyle x-2 får vi en rest på 4. Finn vad vi får för rest då vi delar med \displaystyle x^2-4.
Övning 2.2.5*
(Inspirationskälla till problemet:USAMO 1975) Låt \displaystyle p(x) vara ett polynom av grad \displaystyle n så att \displaystyle p(k)=1/k för \displaystyle k=1, \ldots ,n+1. Vad är \displaystyle p(n+2) ?
Avsnitt 2.3 Kombinatorik
Övning 2.3.1
Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 5 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 6 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen?
Övning 2.3.2
Ett palindrom är något som blir samma sak om man läser det framlänges eller baklänges, t.ex. apa, ABBA och 11011.
| a) Hur många palindromer av längd 6 kan man bilda med hjälp av siffrorna \displaystyle 0,1,2,\dots,9? |
| b) Hur många palindromer av längd 5 kan man bilda med hjälp av siffrorna \displaystyle 0,1,2,\dots,9? |
Övning 2.3.3
|
Man kan välja mellan 3 olika tröjor (röd, gul och svart), 2 olika byxor (vita och svarta) och 5 olika hattar (gul, vit, svart, grön och blå). |
| a) Lena är inte så stilig, hon kombinerar färger fritt. På hur många sätt kan hon välja sina kläder? |
| b) Jonas vill ha svarta byxor och en gul tröja, men hattens färg tycker han inte är så viktig. Hur många olika klädval har han? |
| c) Anna vill inte kombinera svarta byxor med en gul tröja. På hur många sätt kan hon kombinera olika kläder? |
Övning 2.3.4*
Du och din vän har handlat mat och har fyllt sju kassar som ni skall bära hem. På hur många sätt kan ni bära kassarna om du vill se till så att varje hand som du och din vän har åtminstone håller i en kasse? (Antag att du har två händer och din vän likaså)
Övning 2.3.5
Du har ett förhör på en kurs du läser. Du skall förhöras av fem lärare, Lärare A, Lärare B, Lärare C, Lärare D och Lärare E. Dessa kommer att sitta på fem stolar på rad, och lärare B och C vill sitta bredvid varandra. Lärare A vill antingen sitta bredvid B, eller bredvid C. Lärare D vill sitta bredvid lärare A. På hur många sätt kan de sitta på stolarna?
Övning 2.3.6*
Låt oss definiera en talföljd som kallas Fibonaccitalen som följande. \displaystyle a_0=1 , \displaystyle a_1 = 1 och för att hitta nästa tal i följden, \displaystyle a_2= a_1+a_0 =2. Generellt så sätter vi att \displaystyle a_n = a_{n-1}+a_{n-2} . Bevisa nu att \displaystyle \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} = a_{n+1} .
Avsnitt 2.4 Logik
Övning 2.4.1
Bestäm vilka av följande påståenden som är sanna för reella tal \displaystyle x.
| a) | \displaystyle x>2 \Rightarrow x\geq -1 | b) | \displaystyle x >2 \Leftarrow x \geq -1 |
| c) | \displaystyle x\geq 0\wedge x>1\Leftrightarrow x >1 | d) | \displaystyle x\geq 0 \Rightarrow x^2\geq 0 |
| e) | \displaystyle x^2<0 \Rightarrow x^2\geq 0 |
Övning 2.4.2*
Är påståendet "Stockholm är Tysklands huvudstad om och endast om staden New York är Sveriges huvudstad" sant?
