Förberedande kurs i matematik

Om vi utvecklar kvadraten i vänsterledet, så får vi att \displaystyle a^2+2abi-b^2=i.

Vi måste ha att realdelen av vänsterledet är lika med realdelen av högerledet: realdelen av vänsterledet är \displaystyle a^2-b^2, och realdelen av högerledet är \displaystyle 0. Alltså vet vi att \displaystyle a^2-b^2=0.

Vi måste också ha att imaginärdelen av vänsterledet är lika med imaginärdelen av högerledet: vi får alltså att \displaystyle 2ab=1.

Då har vi fått ett ekvationssystem: \displaystyle a^2-b^2=0, och \displaystyle 2ab=1.

Från den första ekvationen får vi att \displaystyle a^2=b^2, och eftersom \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal kan vi dra slutsatsen att \displaystyle a=\pm b.

Stoppar vi in \displaystyle a=b i ekvationen \displaystyle 2ab=1 får vi att \displaystyle 2a^2=1, vilket leder till att \displaystyle a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}. Stoppar vi in \displaystyle a=-b i ekvationen, får vi att \displaystyle -2a^2=1, men då då måste \displaystyle a vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, och vi ville ju att \displaystyle a skulle vara reellt. Alltså är \displaystyle a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} de enda potentiella lösningarna.

Detta leder till de fyra kandidatlösningarna \displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) , \displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right), \displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) och \displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right). Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att \displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i, och att \displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i.

Detta betyder att vi faktiskt kan skriva \displaystyle \sqrt{i} som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \displaystyle \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal.