Förberedande kurs i matematik

Givet är \displaystyle \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) . Det första man bör notera är att problemet hade varit trivialt om vi haft \displaystyle \sin(\arcsin(x)). Finns det då något bra sätt att översätta cosinus till sinus, utan att ändra på argumentet?

Vi försöker med trigonometriska ettan, där \displaystyle \cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}. Detta verkar fungera bra, men vi vill ha bort det otrevliga \displaystyle \pm . Vi noterar att värdemängden för arcussinus är \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] och konstaterar (kanske genom att ta en titt på enhetscirkeln) att cosinus alltid är positivt på detta intervall.

Vi kan alltså låta \displaystyle \cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)} då \displaystyle x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].

Detta leder till att:

\displaystyle \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) = \sqrt{1-\sin^2(\arcsin(\frac{1}{3})}

Vilket snabbt förenklas till:

\displaystyle \sqrt{1-(\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}