Förberedande kurs i matematik

Det första vi gör är att undersöka när uttrycket inom absolutbeloppstecken är negativt. Uttrycket \displaystyle x^2 - 5x + 6 kan skrivas som \displaystyle (x-3)(x-2). Via ett snabbt teckenstudium ser vi att uttrycket är positivt när \displaystyle x \leq 2 , negativt när \displaystyle 2 < x < 3 och positivt igen när \displaystyle x \geq 3 . Vi delar alltså in ekvationen i två delar; ett då uttrycket är positivt och ett då uttrycket är negativt.

Vi börjar med fallet då uttrycket är positivt, detta gäller då \displaystyle x \leq 2 eller \displaystyle x \geq 3. Då kan vi sätta: \displaystyle |x^2 - 5x + 6| = x^2 - 5x + 6.

Vi erhåller:

\displaystyle x^2 - 5x + 6 = -2x + \frac{19}{4} \Leftrightarrow x^2 -3x + \frac{5}{4} = 0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})(x-\frac{5}{2}) = 0

Rötterna blir alltså \displaystyle x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{5}{2} varav roten \displaystyle x_2 inte ligger på något av de intervallen vi arbetar med (den ligger ju precis mitt i intervallet ]2, 3[) och måste därför förkastas.

Sedan fortsätter vi med fallet då uttrycket är negativt, alltså \displaystyle 2 < x < 3 . På detta intervall är uttrycket negativt, och för att få det positivt så räknar vi med \displaystyle |x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6) .

Vi får:

\displaystyle -x^2 + 5x -6 = -2x + \frac{19}{4} \Leftrightarrow x^2 -7x + 43/4 = 0

\displaystyle x_3 = \frac{7-\sqrt{6}}{2}, x_4 = \frac{7+\sqrt{6}}{2}

endast \displaystyle x_3 ligger inom intervallet vi arbetar med, och vi förkastar alltså \displaystyle x_4.