Testsida2
Förberedande kurs i matematik
| Rad 41: | Rad 41: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.2.a | Lösning b) | Lösning 3.1.2b | Lösning c) | Lösning 3.1.2c | Lösning d) | Lösning 3.1.2d | Lösning e) | Lösning 3.1.2e}} | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.2.a | Lösning b) | Lösning 3.1.2b | Lösning c) | Lösning 3.1.2c | Lösning d) | Lösning 3.1.2d | Lösning e) | Lösning 3.1.2e}} | ||
| - | a) | ||
| - | + | ===Övning 3.1.3=== | |
| - | \ | + | <div class="ovning"> |
| + | Låt <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\}</math> så att <math>f(x)=x^2</math> och <math>g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x) = -\sqrt{x}.</math> Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner: | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>f</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>g</math> | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>h(x) = f(g(x)).</math> | ||
| + | | | ||
| + | |d) | ||
| + | | <math>\displaystyle B \setminus A</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.1a | Lösning b) | Lösning 3.1.1b | Lösning c) | Lösning 3.1.1c | Lösning d) | Lösning 3.1.1d}} | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| + | f: | ||
\begin{list}{}{} | \begin{list}{}{} | ||
| - | + | \item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}</math> | |
| + | \item Målmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math> | ||
| + | \item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math> | ||
| + | \item Surjektivitet: Ja, mål- och värdemängd är lika. | ||
| + | \item Injektivitet: Nej, till exempel är <math>f(-1)=f(1)=1</math>. | ||
\end{list} | \end{list} | ||
| - | + | g: | |
\begin{list}{}{} | \begin{list}{}{} | ||
| - | + | \item Definitionsmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math> | |
| + | \item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> | ||
| + | \item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\}</math> | ||
| + | \item Surjektivitet: Nej, inga positiva tal antas. | ||
| + | \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande. | ||
\end{list} | \end{list} | ||
| - | + | h: | |
\begin{list}{}{} | \begin{list}{}{} | ||
| - | + | \item Definitionsmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math> | |
| + | \item Målmängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math> | ||
| + | \item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math> | ||
| + | \item Surjektivitet: Ja, eftersom mål- och värdemängd är lika. | ||
| + | \item Injektivitet: Vi har <math>h(x)=f(g(x))=(-\sqrt{x})^2 = x</math> så den är injektiv. | ||
\end{list} | \end{list} | ||
| + | Notera att <math>h</math> är bijektiv trots att varken <math>f</math> eller <math>g</math> är det. | ||
Versionen från 12 juni 2012 kl. 12.00
Övning 3.1.1
Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm
| a) | \displaystyle \displaystyle A\cup B | b) | \displaystyle \displaystyle A\cap B | c) | \displaystyle \displaystyle A\setminus B | d) | \displaystyle \displaystyle B \setminus A |
Hämtar...
Övning 3.1.2
Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
| a) | \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2. | |
| b) | \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.
\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}. | |
| c) | \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}. | |
| d) | \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)). | |
| e) | \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)). |
Övning 3.1.3
Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:
| a) | \displaystyle f | b) | \displaystyle g | c) | \displaystyle h(x) = f(g(x)). | d) | \displaystyle \displaystyle B \setminus A |
f: \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Målmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Surjektivitet: Ja, mål- och värdemängd är lika. \item Injektivitet: Nej, till exempel är \displaystyle f(-1)=f(1)=1. \end{list} g: \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\} \item Surjektivitet: Nej, inga positiva tal antas. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande. \end{list} h: \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Målmängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Surjektivitet: Ja, eftersom mål- och värdemängd är lika. \item Injektivitet: Vi har \displaystyle h(x)=f(g(x))=(-\sqrt{x})^2 = x så den är injektiv. \end{list} Notera att \displaystyle h är bijektiv trots att varken \displaystyle f eller \displaystyle g är det.
