Testsida2
Förberedande kurs i matematik
| Rad 14: | Rad 14: | ||
|} | |} | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.1a | Lösning b) | Lösning 3.1.1b | Lösning c) | Lösning 3.1.1c | Lösning d) | Lösning 3.1.1d}} | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.1a | Lösning b) | Lösning 3.1.1b | Lösning c) | Lösning 3.1.1c | Lösning d) | Lösning 3.1.1d}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 3.1.2=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva. | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>f(x)= x^2</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x)= -x-3</math>. <math>\mathbb{R}_+</math> definieras som <math>\mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.</math> | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>h(x) = -\sqrt{x}</math> | ||
| + | | | ||
| + | |d) | ||
| + | | <math>r</math> definierad genom <math>r(x) = f(g(x))</math>. | ||
| + | |e) | ||
| + | |<math>s</math> definierad genom <math>s(x) = f(h(x))</math> | ||
| + | | | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.1a | Lösning b) | Lösning 3.1.1b | Lösning c) | Lösning 3.1.1c | Lösning d) | Lösning 3.1.1d}} | ||
| + | |||
| + | a) | ||
| + | \begin{list}{}{} | ||
| + | \item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}</math> | ||
| + | \item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> | ||
| + | \item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math> | ||
| + | \item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas. | ||
| + | \item Injektivitet: Nej, till exempel är <math>f(-1)=f(1)=1</math>. | ||
| + | \end{list} | ||
| + | b) | ||
| + | \begin{list}{}{} | ||
| + | \item Definitionsmängd:<math>\mathbb{R}_+</math> | ||
| + | \item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> | ||
| + | \item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x<-3\}</math> | ||
| + | \item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte <math>0</math> i värdemängden. | ||
| + | \item Injektivitet: Ja, om vi antar att <math>g(x_1)=g(x_2)</math> så följer <math>-x_1-3=-x_2-3</math> vilket innebär att <math>x_1=x_2.</math> | ||
| + | \end{list} | ||
| + | c) | ||
| + | \begin{list}{}{} | ||
| + | \item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> | ||
| + | \item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> | ||
| + | \item Värdemängd: <math>\mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}</math>. | ||
| + | \item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte. | ||
| + | \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger. | ||
| + | \end{list} | ||
| + | d) | ||
| + | \begin{list}{}{} | ||
| + | \item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det. | ||
| + | \item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det. | ||
| + | \item Värdemängd: Vi har <math>r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9.</math> För de <math>x</math> där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in <math>0</math> får vi <math>9</math> vilket innebär att värdemängden är <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}.</math> | ||
| + | \item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte <math>0</math> finns i värdemängden. | ||
| + | \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela <math>\mathbb{R}</math> som definitionsmängd. | ||
| + | \end{list} | ||
| + | e) | ||
| + | \begin{list}{}{} | ||
| + | \item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det. | ||
| + | \item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det. | ||
| + | \item Värdemängd: Vi har <math>s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x.</math> Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva <math>x</math>. Värdemängden är alltså <math>\mathbb{R}_+.</math> | ||
| + | \item Surjektivitet: Nej, Till exempel <math>0</math> antas inte. | ||
| + | \item Injektivitet: Om vi antar att <math>s(x_1)=s(x_2)</math> så betyder det att <math>x_1=x_2</math> och alltså är den injektiv. | ||
| + | \end{list} | ||
Versionen från 12 juni 2012 kl. 11.43
Övning 3.1.1
Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm
| a) | \displaystyle \displaystyle A\cup B | b) | \displaystyle \displaystyle A\cap B | c) | \displaystyle \displaystyle A\setminus B | d) | \displaystyle \displaystyle B \setminus A |
Hämtar...
Övning 3.1.2
Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
| a) | \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2 | b) | \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3. \displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}. | c) | \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x} | d) | \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)). | e) | \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)) |
a) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\} \item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas. \item Injektivitet: Nej, till exempel är \displaystyle f(-1)=f(1)=1. \end{list} b) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd:\displaystyle \mathbb{R}_+ \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x<-3\} \item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte \displaystyle 0 i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, om vi antar att \displaystyle g(x_1)=g(x_2) så följer \displaystyle -x_1-3=-x_2-3 vilket innebär att \displaystyle x_1=x_2. \end{list} c) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}. \item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger. \end{list} d) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9. För de \displaystyle x där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in \displaystyle 0 får vi \displaystyle 9 vilket innebär att värdemängden är \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}. \item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte \displaystyle 0 finns i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela \displaystyle \mathbb{R} som definitionsmängd. \end{list} e) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x. Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva \displaystyle x. Värdemängden är alltså \displaystyle \mathbb{R}_+. \item Surjektivitet: Nej, Till exempel \displaystyle 0 antas inte. \item Injektivitet: Om vi antar att \displaystyle s(x_1)=s(x_2) så betyder det att \displaystyle x_1=x_2 och alltså är den injektiv. \end{list}
