Processing Math: 44%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Testsida2

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 14: Rad 14:
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.1a | Lösning b) | Lösning 3.1.1b | Lösning c) | Lösning 3.1.1c | Lösning d) | Lösning 3.1.1d}}
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.1a | Lösning b) | Lösning 3.1.1b | Lösning c) | Lösning 3.1.1c | Lösning d) | Lösning 3.1.1d}}
 +
 +
 +
===Övning 3.1.2===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
| <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>f(x)= x^2</math>
 +
|b)
 +
| <math>g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x)= -x-3</math>. <math>\mathbb{R}_+</math> definieras som <math>\mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.</math>
 +
|c)
 +
| <math>h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>h(x) = -\sqrt{x}</math>
 +
|
 +
|d)
 +
| <math>r</math> definierad genom <math>r(x) = f(g(x))</math>.
 +
|e)
 +
|<math>s</math> definierad genom <math>s(x) = f(h(x))</math>
 +
|
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 3.1.1a | Lösning b) | Lösning 3.1.1b | Lösning c) | Lösning 3.1.1c | Lösning d) | Lösning 3.1.1d}}
 +
 +
a)
 +
\begin{list}{}{}
 +
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}</math>
 +
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
 +
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq0\}</math>
 +
\item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas.
 +
\item Injektivitet: Nej, till exempel är <math>f(-1)=f(1)=1</math>.
 +
\end{list}
 +
b)
 +
\begin{list}{}{}
 +
\item Definitionsmängd:<math>\mathbb{R}_+</math>
 +
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
 +
\item Värdemängd: <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x<-3\}</math>
 +
\item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte <math>0</math> i värdemängden.
 +
\item Injektivitet: Ja, om vi antar att <math>g(x_1)=g(x_2)</math> så följer <math>-x_1-3=-x_2-3</math> vilket innebär att <math>x_1=x_2.</math>
 +
\end{list}
 +
c)
 +
\begin{list}{}{}
 +
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math>
 +
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math>
 +
\item Värdemängd: <math>\mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}</math>.
 +
\item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte.
 +
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger.
 +
\end{list}
 +
d)
 +
\begin{list}{}{}
 +
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det.
 +
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det.
 +
\item Värdemängd: Vi har <math>r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9.</math> För de <math>x</math> där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in <math>0</math> får vi <math>9</math> vilket innebär att värdemängden är <math>\{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}.</math>
 +
\item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte <math>0</math> finns i värdemängden.
 +
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela <math>\mathbb{R}</math> som definitionsmängd.
 +
\end{list}
 +
e)
 +
\begin{list}{}{}
 +
\item Definitionsmängd: <math>\mathbb{R}_+</math> eftersom den inre funktionen har det.
 +
\item Målmängd: <math>\mathbb{R}</math> eftersom den yttre funktionen har det.
 +
\item Värdemängd: Vi har <math>s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x.</math> Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva <math>x</math>. Värdemängden är alltså <math>\mathbb{R}_+.</math>
 +
\item Surjektivitet: Nej, Till exempel <math>0</math> antas inte.
 +
\item Injektivitet: Om vi antar att <math>s(x_1)=s(x_2)</math> så betyder det att <math>x_1=x_2</math> och alltså är den injektiv.
 +
\end{list}

Versionen från 12 juni 2012 kl. 11.43

Övning 3.1.1

Låt A=124 och B=34. Bestäm

a) AB b) AB c) AB d) BA

Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)


Övning 3.1.2

Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.

a) f: så att f(x)=x2 b) g:+ så att g(x)=−x−3. + definieras som +=xx0 c) h:+ så att h(x)=−x  d) r definierad genom r(x)=f(g(x)). e) s definierad genom s(x)=f(h(x))

Lösning a) | Lösning b) | Lösning c) | Lösning d)

a) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \item Målmängd: \item Värdemängd: xx0 \item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas. \item Injektivitet: Nej, till exempel är f(−1)=f(1)=1. \end{list} b) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd:\displaystyle \mathbb{R}_+ \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x<-3\} \item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte \displaystyle 0 i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, om vi antar att \displaystyle g(x_1)=g(x_2) så följer \displaystyle -x_1-3=-x_2-3 vilket innebär att \displaystyle x_1=x_2. \end{list} c) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} \item Värdemängd: \displaystyle \mathbb{R}_- =\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}. \item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger. \end{list} d) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle r(x) = f(g(x)) = (-x-3)^2 = x^2+6x+9. För de \displaystyle x där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in \displaystyle 0 får vi \displaystyle 9 vilket innebär att värdemängden är \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}. \item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte \displaystyle 0 finns i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela \displaystyle \mathbb{R} som definitionsmängd. \end{list} e) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x. Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva \displaystyle x. Värdemängden är alltså \displaystyle \mathbb{R}_+. \item Surjektivitet: Nej, Till exempel \displaystyle 0 antas inte. \item Injektivitet: Om vi antar att \displaystyle s(x_1)=s(x_2) så betyder det att \displaystyle x_1=x_2 och alltså är den injektiv. \end{list}

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte/index.php/Testsida2