Förberedande kurs i matematik
(Skillnad mellan versioner)
|
|
| Rad 20: |
Rad 20: |
| | Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva. | | Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva. |
| | {| width="100%" cellspacing="10px" | | {| width="100%" cellspacing="10px" |
| | + | |- |
| | |a) | | |a) |
| | | <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>f(x)= x^2</math> | | | <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>f(x)= x^2</math> |
| | + | |- |
| | |b) | | |b) |
| | | <math>g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x)= -x-3</math>. <math>\mathbb{R}_+</math> definieras som <math>\mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.</math> | | | <math>g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x)= -x-3</math>. <math>\mathbb{R}_+</math> definieras som <math>\mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.</math> |
| | |c) | | |c) |
| | | <math>h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>h(x) = -\sqrt{x}</math> | | | <math>h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>h(x) = -\sqrt{x}</math> |
| - | | | + | |- |
| | |d) | | |d) |
| | | <math>r</math> definierad genom <math>r(x) = f(g(x))</math>. | | | <math>r</math> definierad genom <math>r(x) = f(g(x))</math>. |
| | + | |- |
| | |e) | | |e) |
| | |<math>s</math> definierad genom <math>s(x) = f(h(x))</math> | | |<math>s</math> definierad genom <math>s(x) = f(h(x))</math> |
Versionen från 12 juni 2012 kl. 11.44
Övning 3.1.1
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
Övning 3.1.2
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
Visa mindreVisa mindre |
Visa merVisa mer |
Dölj alltDölj allt |
Visa alltVisa allt
a)
\begin{list}{}{}
\item Definitionsmängd: 
\item Målmängd:
\item Värdemängd: 
x
x
0
\item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas.
\item Injektivitet: Nej, till exempel är f(−1)=f(1)=1.
\end{list}
b)
\begin{list}{}{}
\item Definitionsmängd:+
\item Målmängd:
\item Värdemängd: xx
−3
\item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte 0 i värdemängden.
\item Injektivitet: Ja, om vi antar att g(x1)=g(x2) så följer −x1−3=−x2−3 vilket innebär att x1=x2
\end{list}
c)
\begin{list}{}{}
\item Definitionsmängd: +
\item Målmängd:
\item Värdemängd: −=xx0.
\item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte.
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger.
\end{list}
d)
\begin{list}{}{}
\item Definitionsmängd: + eftersom den inre funktionen har det.
\item Målmängd: eftersom den yttre funktionen har det.
\item Värdemängd: Vi har r(x)=f(g(x))=(−x−3)2=x2+6x+9 För de x där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in 0 får vi 9 vilket innebär att värdemängden är \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}.
\item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte \displaystyle 0 finns i värdemängden.
\item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela \displaystyle \mathbb{R} som definitionsmängd.
\end{list}
e)
\begin{list}{}{}
\item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det.
\item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det.
\item Värdemängd: Vi har \displaystyle s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x. Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva \displaystyle x. Värdemängden är alltså \displaystyle \mathbb{R}_+.
\item Surjektivitet: Nej, Till exempel \displaystyle 0 antas inte.
\item Injektivitet: Om vi antar att \displaystyle s(x_1)=s(x_2) så betyder det att \displaystyle x_1=x_2 och alltså är den injektiv.
\end{list}
2
B
B
B
Hämtar...
0
x 