Lösning 1.8.3a

Förberedande kurs i matematik

Om vi utvecklar kvadraten i vänsterledet, så får vi att a2+2abi−b2=i.

Vi måste ha att realdelen av vänsterledet är lika med realdelen av högerledet: realdelen av vänsterledet är a2−b2, och realdelen av högerledet är 0. Alltså vet vi att a2−b2=0.

Vi måste också ha att imaginärdelen av vänsterledet är lika med imaginärdelen av högerledet: vi får alltså att 2ab=1.

Då har vi fått ett ekvationssystem: a2−b2=0, och 2ab=1.

Från den första ekvationen får vi att a2=b2, och eftersom a och b är reella tal kan vi dra slutsatsen att a=b.

Stoppar vi in a=b i ekvationen 2ab=1 får vi att 2a2=1, vilket leder till att a=12. Stoppar vi in a=−b i ekvationen, får vi att −2a2=1, men då då måste a vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att a skulle vara reellt. Alltså är a=12 de enda potentiella lösningarna.

Detta leder till de fyra kandidatlösningarna 12+i2 , 12−i2 , −12+i2  och −12−i2 . Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att 12+i22=i , och att −12−i22=i .

Detta betyder att vi faktiskt kan skriva Missing \right