Processing Math: 77%

Förberedande kurs i matematik

Övning 3.1.1

Övning 3.1.2

a) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \item Målmängd: \item Värdemängd: xx0 \item Surjektivitet: Nej, inga negativa tal antas. \item Injektivitet: Nej, till exempel är f(−1)=f(1)=1. \end{list} b) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd:+ \item Målmängd: \item Värdemängd: xx−3 \item Surjektivitet: Nej, till exempel så ligger inte 0 i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, om vi antar att g(x1)=g(x2) så följer −x1−3=−x2−3 vilket innebär att x1=x2 \end{list} c) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: + \item Målmängd: \item Värdemängd: −=xx0. \item Surjektivitet: Nej, alla reella antas inte. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt avtagande hela tiden kan den inte ha samma värde två gånger. \end{list} d) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: + eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har r(x)=f(g(x))=(−x−3)2=x2+6x+9 För de x där den är definierad ökar funktionen. Sätter vi in 0 får vi 9 vilket innebär att värdemängden är \displaystyle \{x\in \mathbb{R}\mid x>9\}. \item Surjektivitet: Nej, eftersom till exempel inte \displaystyle 0 finns i värdemängden. \item Injektivitet: Ja, eftersom funktionen är strikt ökande där den är definierad. Notera att detta inte varit sant ifall vi tagit hela \displaystyle \mathbb{R} som definitionsmängd. \end{list} e) \begin{list}{}{} \item Definitionsmängd: \displaystyle \mathbb{R}_+ eftersom den inre funktionen har det. \item Målmängd: \displaystyle \mathbb{R} eftersom den yttre funktionen har det. \item Värdemängd: Vi har \displaystyle s(x) = f(h(x)) = (-\sqrt{x})^2 = |x| = x. Vi kan ta bort absolutbeloppet eftersom vi bara tittar på positiva \displaystyle x. Värdemängden är alltså \displaystyle \mathbb{R}_+. \item Surjektivitet: Nej, Till exempel \displaystyle 0 antas inte. \item Injektivitet: Om vi antar att \displaystyle s(x_1)=s(x_2) så betyder det att \displaystyle x_1=x_2 och alltså är den injektiv. \end{list}