Tips och lösning till övning 17.39
SamverkanLinalgLIU
(Skillnad mellan versioner)
| (6 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | Grundidéen | + | Grundidéen är densamma som i övning 17.38, dvs du skall genomföra ett basbyte så att |
*det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i den nya basen | *det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i den nya basen | ||
*det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen <math>T</math> genom att det räcker att transponera densamma) | *det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen <math>T</math> genom att det räcker att transponera densamma) | ||
| - | Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> | + | Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> i den ursprungliga basen genom sambandet <math>A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t</math> |
| - | |||
| - | c) Vad betyder <math>A_{\boldsymbol{e}}^4</math> geometriskt? Rita figur! | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | I den nya HON-basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> låter du <math>\boldsymbol{f}_1</math> vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och <math>\boldsymbol{f}_2</math> ortogonal mot <math>\boldsymbol{f}_1</math>. <math>\boldsymbol{f}_3</math> skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av <math>\boldsymbol{f}_1</math> och <math>\boldsymbol{f}_2</math>. Du har nu basbytesmatrisen <math>T</math>. | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| Rad 22: | Rad 18: | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | Avbildningsmatriserna <math>A_ | + | Avbildningsmatriserna <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> erhålles nu genom att avbilda (rotera) de nya basvektorerna, dvs |
| - | a) | ||
* <math>\boldsymbol{f}_1</math> avbildas på <math>\boldsymbol{f}_1</math> | * <math>\boldsymbol{f}_1</math> avbildas på <math>\boldsymbol{f}_1</math> | ||
| - | * <math>\boldsymbol{f}_2</math> avbildas på <math>\boldsymbol{f}_3</math> | + | * <math>\boldsymbol{f}_2</math> avbildas på <math>\cos\theta\boldsymbol{f}_2+\sin\theta\boldsymbol{f}_3</math> |
| - | * <math>\boldsymbol{f}_3</math> avbildas på | + | * <math>\boldsymbol{f}_3</math> avbildas på <math>-\sin\theta\boldsymbol{f}_2+\cos\theta\boldsymbol{f}_3</math> |
| - | Rita figur | + | Rita figur eller använd figur 16.25. |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| Rad 55: | Rad 31: | ||
| - | Byt till en ny höger ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>, där <math>\boldsymbol{f}=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math> så att | + | Byt till en ny höger ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>, där <math>\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math> så att |
| - | <math>F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} | + | <math>F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math>. |
Välj t.ex., <math>\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\{-1}\\0\end{pmatrix}</math> och sedan | Välj t.ex., <math>\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\{-1}\\0\end{pmatrix}</math> och sedan | ||
<math>\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\1\\{-2}\end{pmatrix}</math>, | <math>\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\1\\{-2}\end{pmatrix}</math>, | ||
| Rad 69: | Rad 45: | ||
Då är | Då är | ||
<center><math>F(\boldsymbol{f}_2)=\cos\theta\boldsymbol{f}_2+\sin\theta\boldsymbol{f}_3=-\frac{1}{2}\boldsymbol{f}_2+\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol{f}_3=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}{0}\\{-1/2}\\{\sqrt3/2}\end{pmatrix}</math></center> | <center><math>F(\boldsymbol{f}_2)=\cos\theta\boldsymbol{f}_2+\sin\theta\boldsymbol{f}_3=-\frac{1}{2}\boldsymbol{f}_2+\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol{f}_3=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}{0}\\{-1/2}\\{\sqrt3/2}\end{pmatrix}</math></center> | ||
| - | <center><math>F(\boldsymbol{f}_3)=-\sin\theta\boldsymbol{f}_2+\cos\theta\boldsymbol{f}_3=-\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol{f}_2 | + | <center><math>F(\boldsymbol{f}_3)=-\sin\theta\boldsymbol{f}_2+\cos\theta\boldsymbol{f}_3=-\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol{f}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{f}_3=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}{0}\\{-\sqrt3/2}\\{-1/2}\end{pmatrix},</math></center> |
så att | så att | ||
| - | <center><math>A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{-1/2}&{-\sqrt3/2}\\0&{\sqrt3/2}&{1/2}\end{pmatrix} | + | <center><math>A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{-1/2}&{-\sqrt3/2}\\0&{\sqrt3/2}&{-1/2}\end{pmatrix} |
| - | =2\begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix}.</math></center> | + | =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix}.</math></center> |
Avbildningsmatrisen ges av | Avbildningsmatrisen ges av | ||
<center><math>\begin{align} | <center><math>\begin{align} | ||
| - | A_{\boldsymbol{e}}&=TA_{\boldsymbol{f}}T^t=2\frac{1}{\sqrt6}\frac{1}{\sqrt6} | + | A_{\boldsymbol{e}}&=TA_{\boldsymbol{f}}T^t=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt6}\frac{1}{\sqrt6} |
\begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix} | ||
\begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix} | ||
Nuvarande version
Tips 1
Grundidéen är densamma som i övning 17.38, dvs du skall genomföra ett basbyte så att
- det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i den nya basen
- det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen \displaystyle T genom att det räcker att transponera densamma)
Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} i den ursprungliga basen genom sambandet \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t
Tips 2
I den nya HON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} låter du \displaystyle \boldsymbol{f}_1 vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1. \displaystyle \boldsymbol{f}_3 skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2. Du har nu basbytesmatrisen \displaystyle T.
Tips 3
Avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} erhålles nu genom att avbilda (rotera) de nya basvektorerna, dvs
- \displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1
- \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på \displaystyle \cos\theta\boldsymbol{f}_2+\sin\theta\boldsymbol{f}_3
- \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på \displaystyle -\sin\theta\boldsymbol{f}_2+\cos\theta\boldsymbol{f}_3
Rita figur eller använd figur 16.25.
Lösning
Byt till en ny höger ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, där \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} så att
\displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.
Välj t.ex., \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\{-1}\\0\end{pmatrix} och sedan
\displaystyle \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\1\\{-2}\end{pmatrix},
så att
\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&0&-\frac{2}{\sqrt6} \end{array}\right)
=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix}.Då är
så att
Avbildningsmatrisen ges av
A_{\boldsymbol{e}}&=TA_{\boldsymbol{f}}T^t=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt6}\frac{1}{\sqrt6} \begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt2}&{\sqrt2}\\{\sqrt3}&{-\sqrt3}&0\\1&1&{-2}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.
\end{align}
