Slask dugga 2

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (2 november 2009 kl. 11.32) (redigera) (ogör)
 
(43 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 4: Rad 4:
1A. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna <math>\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}</math> ,
1A. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna <math>\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}</math> ,
<math>\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}</math> och <math>\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}</math>
<math>\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}</math> och <math>\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}</math>
 +
 +
 +
Svar: Volymen = 5 volymsenheter
 +
 +
''Kommentar: Skriv ut texten enl svaret ovan med endast en ruta att fylla i för studenten''
1B. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna <math>\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}</math> ,
1B. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna <math>\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}</math> ,
-
<math>\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\begin{pmatrix}--1\\1\\1\end{pmatrix}</math>
+
<math>\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}</math> och <math>\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
Svar: Volymen = 3 volymsenheter
 +
 
 +
 
 +
''Kommentar: Skriv ut texten enl svaret ovan med endast en ruta att fylla i för studenten''
 +
 
 +
2A. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen <math>AX=B</math> om <center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)</math></center> och <center><math> B=\left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).</math></center>.
 +
 
 +
 
 +
Svar: <math> X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 3\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).</math>
 +
 
 +
 
 +
2B. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen <math>AX=B</math> om <center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 1& 0\\ 3& 0& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right)</math></center> och <center><math> B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 2& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right).</math></center>.
 +
 
 +
 
 +
Svar: <math> X=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{rrr} 2& -2& -2\\ 3& 4& 3\\ 4& 3& 3\end{array}\right).</math>
 +
 
 +
 
 +
3A. Bestäm de värden på a för vilka matrisen <center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 0& 1& 1\\ 0& 0& a\\ -1& -1& -1\end{array}\right)</math></center> är inverterbar.
 +
 
 +
 
 +
Svar a=0
 +
 
 +
 
 +
''Kommentar:Ge utrymme för tre olika a''
-
Låt <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}</math> . Dela upp vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}</math> som en summa <math>\boldsymbol{u}=<math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} </math>+<math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} </math>.
 
-
Svaret skall ges i denna ordning.
+
3B. Bestäm de värden på a för vilka matrisen <center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} a& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& -1\end{array}\right)</math></center> är inverterbar.
-
Svar: <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}</math>
 
-
''Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna.''
+
Svar a=1 (ge utrymme för tre olika a)
 +
''Kommentar:Ge utrymme för tre olika a''
 +
4A. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet
-
1B. Låt <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}</math> . Dela upp vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}</math> som en summa <math>\boldsymbol{u}=<math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} </math>+<math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} </math>.
+
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 +
x&+&2y&+&z&=&1&\\
 +
&&-y&+&z&=&-1&\\
 +
&&ay&+&2z&=&3&\end{array}\right.</math></center>
-
Svaret skall ges i denna ordning.
 
-
Svar: <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}</math>
+
Svar: Ingen lösning då a=-2 (ge tre möjligheter)
-
''Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna. Rötter skrives som sqrt2 tex''
+
Oändligt många lösningar då a= (ge tre möjligheter)
 +
En lösning då a är skilt från -2 (ge tre möjligheter)
-
2A. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna <math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}</math> och har längden 1.
+
''Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet a=2 , i det andra skall det inte stå ngt a-värde och i det tredje -2. Texten skriver vi''
-
Svar: <math>\pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}</math>
 
-
''Kommentarer:Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! Rötter skrives som sqrt2 tex. Vidare ger vi möjlighet för studenten att svara med 4 olika vektorer där i detta fall de rätta svaren skall skrivas in på de två första positionerna och de två följande skall lämnas tomma för rätt svar ''
 
 +
4B. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet
 +
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 +
x&+&2y&+&z&=&1&\\
 +
&&-y&+&z&=&-1&\\
 +
&&-2y&+&az&=&-2&\end{array}\right.</math></center>
 +
Svar: Ingen lösning då a= (ge tre möjligheter)
-
2B. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna <math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>och <math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}</math> och har längden 1.
+
Oändligt många lösningar då a=2 (ge tre möjligheter)
-
Svar: <math>\pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}<math>
+
En lösning då a är skilt från 2 (hur gör vi här?? Vi skriver resterande a??)
-
''Kommentarer:Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! Rötter skrives som sqrt2 tex. Vidare ger vi möjlighet för studenten att svara med 4 olika vektorer där i detta fall de rätta svaren skall skrivas in på de två första positionerna och de två följande skall lämnas tomma för rätt svar''
+
''Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet a=2 , i det andra skall det inte stå ngt a-värde och i det tredje -2. Texten skriver vi''
-
3A. För vilka t ligger punkterna <math>(t,1,-2),(t,0,-1),(3,-1,-2)</math>och <math>(2,-1,-1)</math>
 
-
i samma plan?
 
-
Svar: t=1
+
5A. För vilka a har ekvationssystemet
-
''Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara den första rutan fyllas i av studenten och de två övriga lämnas tomma för rätt svar''
 
 +
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 +
3x&+&y&+&z&=&ax&\\
 +
&&y&+&2z&=&0&\\
 +
x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.</math></center>
-
3B. För vilka t ligger punkterna <math>(t,-1,2),(t,0,1),(-2,1,1)</math>och <math>(1,0,-1)</math>
 
-
i samma plan?
 
-
Svar: t=-1
+
icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.
-
''Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara den första rutan fyllas i av studenten och de två övriga lämnas tomma för rätt svar''
 
-
4A. För vilka a är vektorerna <math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\a+2\end{pmatrix}</math>,<math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix}</math>,<math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix}</math> linjärt beroende?
+
Svar: För a=2 har systemet lösningen <math>s\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}</math>
-
Svar: a=1, a=-1, a=-2
 
-
''Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara de tre första rutorna fyllas i av studenten och den sista lämnas tom för rätt svar''
+
 +
''Kommentar: Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi.''
-
4B. För vilka a är vektorerna <math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a+1\\-1\\0\end{pmatrix}</math>,<math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\a\\-1\end{pmatrix}</math>,<math>\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\0\\a\end{pmatrix}</math> linjärt beroende?
 
-
Svar: a=1, a=-1
+
5B. För vilka a har ekvationssystemet
-
''Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara de två första rutorna fyllas i av studenten och detvå sista lämnas tomma för rätt svar''
 
 +
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 +
x&+&y&+&z&=&ax&\\
 +
&+&y&+&2z&=&0&\\
 +
x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.</math></center>
-
5A. Visa först att <center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 
-
\boldsymbol{f}_1&=&&&\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\
 
-
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &- &\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
 
-
\boldsymbol{f}_3&=&-\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&&\end{array}\right.</math></center>
 
-
är en bas i rummet. Bestäm sedan koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>.
 
-
Svar: <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}4\\6\\4\end{pmatrix}</math>
+
icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.
-
''Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna.''
 
-
5B. Visa först att <center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
+
Svar: För a=1 har systemet lösningen <math>s\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}</math>
-
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1\\
+
-
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2\\
+
-
\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3&\end{array}\right.</math></center>
+
-
är en bas i rummet. Bestäm sedan koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>.
+
-
Svar: <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>
 
-
''Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna.''
+
 +
''Kommentar: Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi.''

Nuvarande version

Underlag för dugga 2


1A. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} , \displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}


Svar: Volymen = 5 volymsenheter

Kommentar: Skriv ut texten enl svaret ovan med endast en ruta att fylla i för studenten

1B. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} , \displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

Svar: Volymen = 3 volymsenheter


Kommentar: Skriv ut texten enl svaret ovan med endast en ruta att fylla i för studenten

2A. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle AX=B om
\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)
och
\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).
.


Svar: \displaystyle X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 3\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).


2B. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle AX=B om
\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 1& 0\\ 3& 0& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right)
och
\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 2& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right).
.


Svar: \displaystyle X=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{rrr} 2& -2& -2\\ 3& 4& 3\\ 4& 3& 3\end{array}\right).


3A. Bestäm de värden på a för vilka matrisen
\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 0& 1& 1\\ 0& 0& a\\ -1& -1& -1\end{array}\right)
är inverterbar.


Svar a=0


Kommentar:Ge utrymme för tre olika a


3B. Bestäm de värden på a för vilka matrisen
\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} a& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& -1\end{array}\right)
är inverterbar.


Svar a=1 (ge utrymme för tre olika a)

Kommentar:Ge utrymme för tre olika a

4A. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&2y&+&z&=&1&\\ &&-y&+&z&=&-1&\\

&&ay&+&2z&=&3&\end{array}\right.


Svar: Ingen lösning då a=-2 (ge tre möjligheter)

Oändligt många lösningar då a= (ge tre möjligheter)

En lösning då a är skilt från -2 (ge tre möjligheter)


Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet a=2 , i det andra skall det inte stå ngt a-värde och i det tredje -2. Texten skriver vi


4B. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&2y&+&z&=&1&\\ &&-y&+&z&=&-1&\\

&&-2y&+&az&=&-2&\end{array}\right.

Svar: Ingen lösning då a= (ge tre möjligheter)

Oändligt många lösningar då a=2 (ge tre möjligheter)

En lösning då a är skilt från 2 (hur gör vi här?? Vi skriver resterande a??)

Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet a=2 , i det andra skall det inte stå ngt a-värde och i det tredje -2. Texten skriver vi


5A. För vilka a har ekvationssystemet


\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

3x&+&y&+&z&=&ax&\\ &&y&+&2z&=&0&\\

x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.


icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.


Svar: För a=2 har systemet lösningen \displaystyle s\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}


Kommentar: Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi.


5B. För vilka a har ekvationssystemet


\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&y&+&z&=&ax&\\ &+&y&+&2z&=&0&\\

x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.


icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.


Svar: För a=1 har systemet lösningen \displaystyle s\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}


Kommentar: Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask_dugga_2