Tips och lösning till övning 17.28

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (26 november 2009 kl. 10.22) (redigera) (ogör)
 
(4 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 24: Rad 24:
dim<math>V(F)\leq2</math> och därmed att <math>F(\boldsymbol{e}_1),</math> <math>F(\boldsymbol{e}_2)</math>, och <math>F(\boldsymbol{e}_3)</math> är linjärt beroende. Detta val av <math>a</math> medför att det<math>A=0.</math> Nu är det<math>A=0</math> för <math>a=-1,3</math>.
dim<math>V(F)\leq2</math> och därmed att <math>F(\boldsymbol{e}_1),</math> <math>F(\boldsymbol{e}_2)</math>, och <math>F(\boldsymbol{e}_3)</math> är linjärt beroende. Detta val av <math>a</math> medför att det<math>A=0.</math> Nu är det<math>A=0</math> för <math>a=-1,3</math>.
-
För <math>a=-1</math> är <math>A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&-2\\-1&-1&1\end{pmatrix}
+
a) För <math>a=-1</math> är <math>A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&-2\\-1&-1&1\end{pmatrix}.</math>
 +
Här är <math>N(F)=[(1,-1,0)^t]</math> och <math>V(F)=[(1,2,-1)^t,(3,-2,1)^t]</math>.
-
Alltså får vi <math>A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}</math>.
+
Snittmängden <math>N(F)\cap V(F)</math> är tom, ty <math>=(1,-1,0)^t\notin V(F)</math> eftersom sambandet
 +
<center><math>\lambda_1(1,2,-1)^t+\lambda_2(3,-2,1)^t\neq(1,-1,0)^t</math></center>
 +
saknar lösning.
-
Vidare får vi <math>N(F)=[(1,2,-1)^t]</math> och <math>V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]</math>. Alltså är <math>N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t]</math>.
+
b) För <math>a=3</math> är <math>A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}</math>.
 +
 
 +
Här är <math>N(F)=[(1,2,-1)^t]</math> och <math>V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]</math>. Alltså är <math>N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t]</math>.
{{NAVCONTENT_STOP}}
{{NAVCONTENT_STOP}}

Nuvarande version

Tips 1

Villkoret betyder att\displaystyle N(F) och \displaystyle V(F) skall ha gemensamma element. Då får inte dim\displaystyle N(F)=0. Alltså måste dim\displaystyle N(F) minst vara 1.

Tips 2

Det betyder att dim\displaystyle V(F)\leq2, men detta innebär att kolonnerna i matrisen är linjärt beroende.


Tips 3

Ett kriterium för linjärt beroende är att matrisens determinant =0, vilket ger krav på konstanten a.


Lösning


Vi vet att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) spänner upp \displaystyle V(F) samt bildar kolonnerna i avbildningsmatrisen \displaystyle A till \displaystyle F. Om dim\displaystyle V(F)=3 så är dim\displaystyle N(F)=0 och därmed är \displaystyle N(F)\cap V(F)=\emptyset. Vi behöver alltså välja \displaystyle a så att dim\displaystyle V(F)\leq2 och därmed att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) är linjärt beroende. Detta val av \displaystyle a medför att det\displaystyle A=0. Nu är det\displaystyle A=0 för \displaystyle a=-1,3.

a) För \displaystyle a=-1 är \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&-2\\-1&-1&1\end{pmatrix}. Här är \displaystyle N(F)=[(1,-1,0)^t] och \displaystyle V(F)=[(1,2,-1)^t,(3,-2,1)^t].

Snittmängden \displaystyle N(F)\cap V(F) är tom, ty \displaystyle =(1,-1,0)^t\notin V(F) eftersom sambandet

\displaystyle \lambda_1(1,2,-1)^t+\lambda_2(3,-2,1)^t\neq(1,-1,0)^t

saknar lösning.

b) För \displaystyle a=3 är \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}.

Här är \displaystyle N(F)=[(1,2,-1)^t] och \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]. Alltså är \displaystyle N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t].


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.28