Tips och lösning till U 9.10

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Ekvationssytemet
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&2z&=&\lambda
 +
x\\2x&&&-&2z&=&\lambda y\\-2x&+&2y&+&z&=&\lambda
 +
z\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
kan på matrisform skrivas
 +
<center><math>
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&{1}&-2\\2&0&-2\\-2&2&1\end{array}\right)
 +
\cdot \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)
 +
=\lambda \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow AX=\lambda X.
 +
</math></center>
 +
 +
Vi börjar med att flytta över de obekanta variablerna till vänstra ledet
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}
 +
(1-\lambda)x&+&y&-&2z&=&0\\2x&-&\lambda
 +
y&-&2z&=&0\\-2x&+&2y&+&(1-\lambda)z&=&0\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
som på matrisform kan skrivas
 +
<center><math>
 +
\left(\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\-2&2&1-\lambda\end{array}\right)
 +
\cdot \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)
 +
=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow(A-\lambda E)X=\boldsymbol{0},
 +
</math></center>
 +
där <math> E</math> är enhetsmatrisen.
 +
 +
Vi bestämmer nu <math> \lambda</math>
 +
så att systemet <math> (A-\lambda E)
 +
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}</math>
 +
har andra lösningar än den triviala lösningen <math> \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}</math> .
 +
 +
För detta kräver vi enligt Sats 8.17 att <math> \det(A-\lambda E)=0</math> .
 +
 +
Vi adderar rad 2 till rad 3:
 +
<center><math>
 +
\det(A-\lambda E)=
 +
\left|\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\-2&2&1-\lambda\end{array}\right|
 +
=
 +
\left|\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\0&2-\lambda&-1-\lambda\end{array}\right|.
 +
</math></center>
 +
 +
Vi adderar kolonn 1 till kolonn 3 och därefter rad 1 till rad 3:

Versionen från 2 september 2010 kl. 15.36

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Ekvationssytemet

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&2z&=&\lambda 

   x\\2x&&&-&2z&=&\lambda y\\-2x&+&2y&+&z&=&\lambda
   z\end{array}\right.

kan på matrisform skrivas

\displaystyle

\left(\begin{array}{rrr}1&{1}&-2\\2&0&-2\\-2&2&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right) =\lambda \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right) \Leftrightarrow AX=\lambda X.

Vi börjar med att flytta över de obekanta variablerna till vänstra ledet

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcrcrcr} 

                  (1-\lambda)x&+&y&-&2z&=&0\\2x&-&\lambda
                  y&-&2z&=&0\\-2x&+&2y&+&(1-\lambda)z&=&0\end{array}\right.

som på matrisform kan skrivas

\displaystyle

\left(\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\-2&2&1-\lambda\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow(A-\lambda E)X=\boldsymbol{0},

där \displaystyle E är enhetsmatrisen.

Vi bestämmer nu \displaystyle \lambda så att systemet \displaystyle (A-\lambda E) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} har andra lösningar än den triviala lösningen \displaystyle \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} .

För detta kräver vi enligt Sats 8.17 att \displaystyle \det(A-\lambda E)=0 .

Vi adderar rad 2 till rad 3:

\displaystyle

\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\-2&2&1-\lambda\end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\0&2-\lambda&-1-\lambda\end{array}\right|.

Vi adderar kolonn 1 till kolonn 3 och därefter rad 1 till rad 3:

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_9.10