Tips och lösning till U 22.8a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Vi observerar först att matrisen <math> A </math> inte är symmetrisk, så
 +
spektralsatsen kan inte garantera att <math> A </math> är diagonaliserbar.
 +
Vi utvecklar längs rad 3 i sekularekvationen och får
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left|\begin{array}{ccc}{-3-\lambda}&{-1}&{-1}\\{8}&{2-\lambda}&{1}\\{-2}&{0}&{1-\lambda}\end{array}\right|
 +
=\lambda(1-\lambda)(1+\lambda)=0
 +
</math></center>
 +
 +
 +
för <math> \lambda_1=1 </math>, <math> \lambda_2=0 </math> och <math> \lambda_3=-1 </math>.
 +
Tillhörande egenvektorer är <math> \boldsymbol{v}_1=t(0,-1,1)^t </math>,
 +
<math> \boldsymbol{v}_2=(-1,5,-2)^t </math> resp. <math> \boldsymbol{v}_3=t(1,-3,1)^t </math>.
 +
Låt <math> T </math> innehålla i sina kolonner egenvektorerna. Då är
 +
 +
 +
<center><math>
 +
T=\left(\begin{array}{rrr}0&{-1}&1\\{-1}&5&{-3}\\1&{-2}&1 \end{array}\right),\ \ \
 +
T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&1\\3&1&1 \end{array}\right),
 +
</math></center>
 +
och
 +
<center><math>
 +
T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&{-1}\end{array}\right)=D.
 +
</math></center>

Versionen från 19 september 2010 kl. 15.39

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi observerar först att matrisen \displaystyle A inte är symmetrisk, så spektralsatsen kan inte garantera att \displaystyle A är diagonaliserbar. Vi utvecklar längs rad 3 i sekularekvationen och får


\displaystyle

\left|\begin{array}{ccc}{-3-\lambda}&{-1}&{-1}\\{8}&{2-\lambda}&{1}\\{-2}&{0}&{1-\lambda}\end{array}\right| =\lambda(1-\lambda)(1+\lambda)=0


för \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_2=0 och \displaystyle \lambda_3=-1 . Tillhörande egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t(0,-1,1)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(-1,5,-2)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_3=t(1,-3,1)^t . Låt \displaystyle T innehålla i sina kolonner egenvektorerna. Då är


\displaystyle

T=\left(\begin{array}{rrr}0&{-1}&1\\{-1}&5&{-3}\\1&{-2}&1 \end{array}\right),\ \ \ T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&1\\3&1&1 \end{array}\right),

och

\displaystyle

T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&{-1}\end{array}\right)=D.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.8a