Tips och lösning till U 22.15c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Eftersom <math> T </math> är ortogonal, dvs <math> T^tT=TT^t=E </math>, så gäller att
 +
<center><math>
 +
A_{\boldsymbol{e}}^5=TDT^tTDT^tTDT^tTDT^tTDT^t=TD^5T^t.\qquad(*)
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Eftersom <math> D^5= \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1/3^5 \end{array}\right), </math>
 +
så är
 +
<center><math>
 +
A_{\boldsymbol{e}}^5=TD^5T^t=\frac{1}{\sqrt2}
 +
\left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\-1&1 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{rr}{1/3^5}&0\\0&1 \end{array}\right)\frac{1}{\sqrt2}
 +
\left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right)
 +
=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2^3}+1}&{\frac{1}{2^3}-1}\\
 +
{\frac{1}{2^3}-1}&{\frac{1}{2^3}+1}\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Lagarna för matrisinvers ger
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
A_{\boldsymbol{e}}^{-1}&=&(TDT^t)^{-1}=(T^t)^{-1}D^{-1}T^{-1}=TD^{-1}T^t\\
 +
&=&\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&1\\-1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&3\end{array}\right)
 +
\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 2&1\\1&2 \end{array}\right).
 +
\end{array}
 +
</math></center>
 +
 +
 +
 +
 +
På samma sätt som i (*) gäller att om <math> n </math> är ett heltal
 +
så
 +
 +
 +
<center><math>
 +
A_{\boldsymbol{e}}^n=TD^nT^t=
 +
\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&1\\-1&1 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{rr} {1/3^n}&0\\0&1 \end{array}\right)
 +
\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right)
 +
=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2^n}+1}&{\frac{1}{2^n}-1}\\
 +
{\frac{1}{2^n}-1}&{\frac{1}{2^n}+1}\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Låter vi nu <math> n\rightarrow\infty </math>, dvs <math> n </math>
 +
växa obegränsat, får vi att
 +
 +
 +
<center><math>
 +
A_{\boldsymbol{e}}^n\rightarrow\frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&-1\\-1&1 \end{array}\right).
 +
</math></center>

Versionen från 19 september 2010 kl. 19.32

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Eftersom \displaystyle T är ortogonal, dvs \displaystyle T^tT=TT^t=E , så gäller att

\displaystyle

A_{\boldsymbol{e}}^5=TDT^tTDT^tTDT^tTDT^tTDT^t=TD^5T^t.\qquad(*)


Eftersom \displaystyle D^5= \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1/3^5 \end{array}\right), så är

\displaystyle

A_{\boldsymbol{e}}^5=TD^5T^t=\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\-1&1 \end{array}\right) 

   \left(\begin{array}{rr}{1/3^5}&0\\0&1 \end{array}\right)\frac{1}{\sqrt2}

\left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right) =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2^3}+1}&{\frac{1}{2^3}-1}\\ {\frac{1}{2^3}-1}&{\frac{1}{2^3}+1}\end{array}\right).


Lagarna för matrisinvers ger


\displaystyle

\begin{array}{rcl} A_{\boldsymbol{e}}^{-1}&=&(TDT^t)^{-1}=(T^t)^{-1}D^{-1}T^{-1}=TD^{-1}T^t\\ &=&\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&1\\-1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&3\end{array}\right) \frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 2&1\\1&2 \end{array}\right). \end{array}



På samma sätt som i (*) gäller att om \displaystyle n är ett heltal så


\displaystyle

A_{\boldsymbol{e}}^n=TD^nT^t= \frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&1\\-1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} {1/3^n}&0\\0&1 \end{array}\right) \frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1&-1\\1&1 \end{array}\right) 

          =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2^n}+1}&{\frac{1}{2^n}-1}\\

{\frac{1}{2^n}-1}&{\frac{1}{2^n}+1}\end{array}\right).


Låter vi nu \displaystyle n\rightarrow\infty , dvs \displaystyle n växa obegränsat, får vi att


\displaystyle

A_{\boldsymbol{e}}^n\rightarrow\frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&-1\\-1&1 \end{array}\right).

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.15c