Tips och lösning till U 7.5a
SamverkanLinalgLIU
| Rad 18: | Rad 18: | ||
Då är <math>A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}</math> | Då är <math>A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}</math> | ||
och | och | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
A^2=B\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix} | A^2=B\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix} | ||
| Rad 24: | Rad 26: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| - | + | ||
| + | '''Fall 1:''' Antag att <math>a+d=0</math>, dvs <math>a=-d</math>. Då är ekvation (2) och (3) | ||
uppfyllda. | uppfyllda. | ||
Systemet (*) kan då skrivas där ekvation (1) och (4) blir | Systemet (*) kan då skrivas där ekvation (1) och (4) blir | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. | \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. | ||
| Rad 32: | Rad 37: | ||
\left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+a^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. | \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+a^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
Detta är en motsägelse, så att systemet (*) saknar lösning. | Detta är en motsägelse, så att systemet (*) saknar lösning. | ||
| - | + | '''Fall 2:''' Antag att <math>a+d\neq0</math>. Då följer av ekvation (2) | |
och (3) att <math>b=0</math> resp. <math>c=0</math>. | och (3) att <math>b=0</math> resp. <math>c=0</math>. | ||
Systemet (*) kan nu skrivas | Systemet (*) kan nu skrivas | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array}{rcl}a^2&=&9\quad(1)\\d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. | \left\{\begin{array}{rcl}a^2&=&9\quad(1)\\d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. | ||
| Rad 42: | Rad 51: | ||
\left\{\begin{array}{rcl}a&=&\pm3\quad(1)\\d&=&\pm2\quad(4)\end{array}\right. | \left\{\begin{array}{rcl}a&=&\pm3\quad(1)\\d&=&\pm2\quad(4)\end{array}\right. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
Alltså finns det fyra varianter | Alltså finns det fyra varianter | ||
<math>A=\begin{pmatrix} \pm3&0\\0&\pm2\end{pmatrix}</math> som uppfyller <math>A^2=B</math>. | <math>A=\begin{pmatrix} \pm3&0\\0&\pm2\end{pmatrix}</math> som uppfyller <math>A^2=B</math>. | ||
Versionen från 23 september 2010 kl. 14.25
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Låt \displaystyle A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}.
Då är \displaystyle A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}
och
A^2=B\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\b(a+d)&=&0\quad(2)\\c(a+d)&=&0\quad(3)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right.\qquad(*)
Fall 1: Antag att \displaystyle a+d=0, dvs \displaystyle a=-d. Då är ekvation (2) och (3)
uppfyllda.
Systemet (*) kan då skrivas där ekvation (1) och (4) blir
\left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+a^2&=&4\quad(4)\end{array}\right.
Detta är en motsägelse, så att systemet (*) saknar lösning.
Fall 2: Antag att \displaystyle a+d\neq0. Då följer av ekvation (2) och (3) att \displaystyle b=0 resp. \displaystyle c=0. Systemet (*) kan nu skrivas
\left\{\begin{array}{rcl}a^2&=&9\quad(1)\\d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a&=&\pm3\quad(1)\\d&=&\pm2\quad(4)\end{array}\right.
Alltså finns det fyra varianter
\displaystyle A=\begin{pmatrix} \pm3&0\\0&\pm2\end{pmatrix} som uppfyller \displaystyle A^2=B.
Observera att vii såg i Övning 7.4 a) att om \displaystyle A=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix}, så är \displaystyle B=A^2=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix}.
