Tips och lösning till övning 3.4

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (29 september 2010 kl. 14.47) (redigera) (ogör)
 
(5 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Låt den sökta vektorn tex beskrivas som <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}</math> .
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Använd definitionen på skalärprodukt (1.4) för att bestämma vinkeln mellan <math>\boldsymbol{u}</math> och de övriga vektorerna.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Genom att <math>\cos\theta</math> skall vara lika erhålles tre ekvationer ur <math>\cos\theta=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_1}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_1|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_2}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_2|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_3}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_3|}
 +
</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 28: Rad 29:
Ur tredje ekvationen får vi att <math>y=(\sqrt2-1)x</math>. Vi sätter in detta i andra ekvationen och får att
Ur tredje ekvationen får vi att <math>y=(\sqrt2-1)x</math>. Vi sätter in detta i andra ekvationen och får att
-
<math>z=(\sqrt3-\sqrt2)x</math>. Alltså är <math>\boldsymbol{u}=t\begin{pmatrix}1\\\sqrt2-1\\\sqrt3-\sqrt2\end{pmatrix}</math>.
+
<math>z=(\sqrt3-\sqrt2)x</math>. Alltså är <math>\boldsymbol{u}=t\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\\sqrt2-1\\\sqrt3-\sqrt2\end{pmatrix}</math>.

Nuvarande version

Tips 1

Låt den sökta vektorn tex beskrivas som \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} .

Tips 2

Använd definitionen på skalärprodukt (1.4) för att bestämma vinkeln mellan \displaystyle \boldsymbol{u} och de övriga vektorerna.

Tips 3

Genom att \displaystyle \cos\theta skall vara lika erhålles tre ekvationer ur \displaystyle \cos\theta=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_1}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_1|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_2}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_2|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_3}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_3|}

Lösning

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} bildar samma vinkel \displaystyle \theta med \displaystyle \boldsymbol{v}_1, \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 om

\displaystyle \cos\theta=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_1}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_1|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_2}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_2|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_3}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_3|}

Insättning samt förkortning av \displaystyle |\boldsymbol{u}| ger

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl} \frac{x+y+z}{\sqrt3} &=&\frac{x+y}{\sqrt2}\\ \frac{x+y+z}{\sqrt3} &=&x\\ \frac{x+y}{\sqrt2} &=&x\\ 

\end{array}\right.

Ur tredje ekvationen får vi att \displaystyle y=(\sqrt2-1)x. Vi sätter in detta i andra ekvationen och får att \displaystyle z=(\sqrt3-\sqrt2)x. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}=t\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\\sqrt2-1\\\sqrt3-\sqrt2\end{pmatrix}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.4