Tips och lösning till U 5.2
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''' Börja med att rita ett koordina...) |
|||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Rita ett högerorienterat koordinatsysten se fig 4.2. Rita även in de vektorer som har ett minustecken framför sig. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | För att avgöra om vektorerna är positivt eller negativt orienterade skall du "sätta dej" i spetsen på den sista i sekvensen. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Vrid nu den första vektorn mot den andra och avgör om vridningen sker moturs (positivt orienterade) eller medurs (negativt orienterade). | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
| - | + | a) I trippeln <math> ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) </math> ser vi från <math> \boldsymbol{w} </math> :s spets att <math> \boldsymbol{v} </math> vrids på <math> \boldsymbol{u} </math> medurs. Alltså är trippeln <math> ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) </math> vänsterorienterad. | |
| - | + | ||
| + | b) Enligt räknelagarna för vektorprodukt så följer att | ||
<center><math> | <center><math> | ||
( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) = - ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}). | ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) = - ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Därmed är <math> ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) </math> vänsterorienterad. | Därmed är <math> ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) </math> vänsterorienterad. | ||
| - | + | ||
| - | + | c) I trippeln <math> ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) </math> ser vi från <math> -\boldsymbol{w} </math> :s spets att <math> \boldsymbol{v} </math> vrids på <math> \boldsymbol{u} </math> moturs. Alltså är trippeln <math> ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) </math> högerorienterad. Alternativt så är enligt a) ovan <math> ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) </math> vänsterorienterad, därmed så är <math> ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) = ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) </math> högerorienterad. | |
| + | |||
| + | d) Trippeln är högerorienterad, ty | ||
<center><math> | <center><math> | ||
( -\boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{v}) = ( \boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v}), | ( -\boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{v}) = ( \boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v}), | ||
</math></center> | </math></center> | ||
är högerorienterad. | är högerorienterad. | ||
Nuvarande version
Tips 1
Rita ett högerorienterat koordinatsysten se fig 4.2. Rita även in de vektorer som har ett minustecken framför sig.
Tips 2
För att avgöra om vektorerna är positivt eller negativt orienterade skall du "sätta dej" i spetsen på den sista i sekvensen.
Tips 3
Vrid nu den första vektorn mot den andra och avgör om vridningen sker moturs (positivt orienterade) eller medurs (negativt orienterade).
Lösning
Börja med att rita ett koordinatsystem där trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) utgör ett högerorienterat system. T.ex., så du kan rita vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} som pekar i pekfingrets riktning västerut, \displaystyle \boldsymbol{v} pekar i långfingrets ritkning mot dig själv och \displaystyle \boldsymbol{w} pekar i tummens riktning rakt uppåt. Vi kan då dra slutsatsen att även \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w} , \boldsymbol{u}) och \displaystyle ( \boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v}) är högerorienterade system.
a) I trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) ser vi från \displaystyle \boldsymbol{w} :s spets att \displaystyle \boldsymbol{v} vrids på \displaystyle \boldsymbol{u} medurs. Alltså är trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) vänsterorienterad.
b) Enligt räknelagarna för vektorprodukt så följer att
( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) = - ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}).
Därmed är \displaystyle ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) vänsterorienterad.
c) I trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) ser vi från \displaystyle -\boldsymbol{w} :s spets att \displaystyle \boldsymbol{v} vrids på \displaystyle \boldsymbol{u} moturs. Alltså är trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) högerorienterad. Alternativt så är enligt a) ovan \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) vänsterorienterad, därmed så är \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) = ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) högerorienterad.
d) Trippeln är högerorienterad, ty
( -\boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{v}) = ( \boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v}),
är högerorienterad.
