Tips och lösning till U 13.3

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 18: Rad 18:
Låt <math> O </math> vara origo i rummet och
Låt <math> O </math> vara origo i rummet och
bilda sidorna i triangeln
bilda sidorna i triangeln
 +
 +
<center><math>
<center><math>
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}=(6,4,4,4,6)^t-(2,4,2,4,2)^t=(4,0,2,0,4)^t
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}=(6,4,4,4,6)^t-(2,4,2,4,2)^t=(4,0,2,0,4)^t
</math></center>
</math></center>
 +
 +
<center><math>
<center><math>
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}=
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}=
(5,7,5,7,2)^t-(2,4,2,4,2)^t=(3,3,3,3,3)^t
(5,7,5,7,2)^t-(2,4,2,4,2)^t=(3,3,3,3,3)^t
</math></center>
</math></center>
 +
 +
<center><math>
<center><math>
\boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_2P_1}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=(6,4,4,4,6)^t-(5,7,5,7,2)^t=(1,-3,-1,-3,4)^t.
\boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_2P_1}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=(6,4,4,4,6)^t-(5,7,5,7,2)^t=(1,-3,-1,-3,4)^t.
</math></center>
</math></center>
 +
 +
Dessa vektorer har längden
Dessa vektorer har längden
<math> ||\boldsymbol{u}|| = ||\boldsymbol{v} = ||\boldsymbol{w}|| = 6 </math>.
<math> ||\boldsymbol{u}|| = ||\boldsymbol{v} = ||\boldsymbol{w}|| = 6 </math>.
Rad 33: Rad 41:
är vinklarna lika med <math> \frac{\pi}{3} </math>.
är vinklarna lika med <math> \frac{\pi}{3} </math>.
T.ex., så är vinkeln <math> \theta=\frac{\pi}{3} </math> mellan <math> \boldsymbol{u} </math> och <math> \boldsymbol{v} </math> enligt
T.ex., så är vinkeln <math> \theta=\frac{\pi}{3} </math> mellan <math> \boldsymbol{u} </math> och <math> \boldsymbol{v} </math> enligt
 +
 +
<center><math>
<center><math>
\cos\theta=\frac{ (\boldsymbol{u}| \boldsymbol{v}) }{
\cos\theta=\frac{ (\boldsymbol{u}| \boldsymbol{v}) }{

Versionen från 2 oktober 2010 kl. 20.22

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Kalla punkterna \displaystyle P_0 , \displaystyle P_1 och \displaystyle P_2 . Låt \displaystyle O vara origo i rummet och bilda sidorna i triangeln


\displaystyle

\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}=(6,4,4,4,6)^t-(2,4,2,4,2)^t=(4,0,2,0,4)^t


\displaystyle

\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}= (5,7,5,7,2)^t-(2,4,2,4,2)^t=(3,3,3,3,3)^t


\displaystyle

\boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_2P_1}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=(6,4,4,4,6)^t-(5,7,5,7,2)^t=(1,-3,-1,-3,4)^t.


Dessa vektorer har längden \displaystyle ||\boldsymbol{u}|| = ||\boldsymbol{v} = ||\boldsymbol{w}|| = 6 . Alltså är triangeln liksig med sidlängd 6 l.e. För en sådan triangel är vinklarna lika med \displaystyle \frac{\pi}{3} . T.ex., så är vinkeln \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3} mellan \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} enligt


\displaystyle

\cos\theta=\frac{ (\boldsymbol{u}| \boldsymbol{v}) }{ 

 \boldsymbol{u}|| \cdot

||\boldsymbol{v}|| }=\frac{\sqrt3}{2}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.3