Tips och lösning till U 5.9a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (7 oktober 2010 kl. 12.00) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Med hjälp av volymprodukt har du ett nytt sätt att fastställa om tre vektorer är linjärt beroende. Anmärkning 4.19 ger dej svaret.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Försök att rent geometriskt inse varför volymproduktens värde kan ge svaret på om vektorerna är linjärt beroende eller ej.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Att volymprodukten blir noll betyder att vektorerna ligger i samma plan annars inte dvs vektorerna spänner upp en parallellepiped.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 19: Rad 19:
Eftersom
Eftersom
 +
 +
<center><math>
<center><math>
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}
Rad 26: Rad 28:
\begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix}.
\begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix}.
</math></center>
</math></center>
 +
 +
och därmed
och därmed
 +
 +
<center><math>
<center><math>
\begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix}
Rad 32: Rad 38:
\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix}=0
\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix}=0
</math></center>
</math></center>
 +
 +
så är volymprodukten av de givna vektorerna noll.
så är volymprodukten av de givna vektorerna noll.
Därmed bildar dem ingen kropp med volym och ligger därför i samma plan
Därmed bildar dem ingen kropp med volym och ligger därför i samma plan
och är linjärt beroende.
och är linjärt beroende.

Nuvarande version

Tips 1

Med hjälp av volymprodukt har du ett nytt sätt att fastställa om tre vektorer är linjärt beroende. Anmärkning 4.19 ger dej svaret.

Tips 2

Försök att rent geometriskt inse varför volymproduktens värde kan ge svaret på om vektorerna är linjärt beroende eller ej.

Tips 3

Att volymprodukten blir noll betyder att vektorerna ligger i samma plan annars inte dvs vektorerna spänner upp en parallellepiped.

Lösning


Enligt Anmärkning 4.19 så är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w} linjärt beroende om volymprodukten \displaystyle (\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}=0.

Eftersom


\displaystyle

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix}.


och därmed


\displaystyle

\begin{pmatrix} -3 \\ 13 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix}=0


så är volymprodukten av de givna vektorerna noll. Därmed bildar dem ingen kropp med volym och ligger därför i samma plan och är linjärt beroende.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_5.9a