Tips och lösning till U 7.3
SamverkanLinalgLIU
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | + | Följ tipsen i uppgift 7.2. | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Följ tipsen i uppgift 7.2. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| Rad 16: | Rad 9: | ||
Kalla matrisen <math>A</math>. Vi söker en matris <math>B=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> som kommuterar med <math>A</math>. Det gäller att | Kalla matrisen <math>A</math>. Vi söker en matris <math>B=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> som kommuterar med <math>A</math>. Det gäller att | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
AB=BA\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} | AB=BA\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} | ||
=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix} | =\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| - | <center><math>\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2a+c&2b+d\\3a+2c&3b+2d\end{pmatrix}= | + | |
| + | |||
| + | <center><math> | ||
| + | \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2a+c&2b+d\\3a+2c&3b+2d\end{pmatrix}= | ||
\begin{pmatrix} 2a+3b&a+2b\\2c+3d&c+2d\end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 2a+3b&a+2b\\2c+3d&c+2d\end{pmatrix} | ||
\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}{-4b+2c}&{-2a-6b+2d}&0&0\\{4a-6c-4d}&{4b-2c}&0&0\end{array}\right). | \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}{-4b+2c}&{-2a-6b+2d}&0&0\\{4a-6c-4d}&{4b-2c}&0&0\end{array}\right). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
Varje komponent i systemet måste alltså uppfylla | Varje komponent i systemet måste alltså uppfylla | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array}{rcl}-3b+c&=&0\\-a+d&=&0\\3a-3d&=&0\\3b-c&=&0\end{array}\right. | \left\{\begin{array}{rcl}-3b+c&=&0\\-a+d&=&0\\3a-3d&=&0\\3b-c&=&0\end{array}\right. | ||
| Rad 30: | Rad 32: | ||
\left\{\begin{array}{rcl}3b-c&=&0\\a-d&=&0\end{array}\right. | \left\{\begin{array}{rcl}3b-c&=&0\\a-d&=&0\end{array}\right. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
Detta ger att <math>c=3b</math> och <math>a=d</math>. | Detta ger att <math>c=3b</math> och <math>a=d</math>. | ||
| Rad 35: | Rad 38: | ||
Matrisen <math>B</math> ges alltså av | Matrisen <math>B</math> ges alltså av | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
B=\begin{pmatrix} s+t&s\\3s&t\end{pmatrix}= | B=\begin{pmatrix} s+t&s\\3s&t\end{pmatrix}= | ||
s \begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}. | s \begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
Alltså ges de matriser <math>B</math> som kommuterar med <math>A</math> av de som är en linjärkombination av matriserna | Alltså ges de matriser <math>B</math> som kommuterar med <math>A</math> av de som är en linjärkombination av matriserna | ||
<math>\begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix}</math> och <math>\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>. Om vi sätter in <math>s=1</math> och <math>t=2</math> i | <math>\begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix}</math> och <math>\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>. Om vi sätter in <math>s=1</math> och <math>t=2</math> i | ||
<math>B</math> så får vi matrisen <math>A</math>. | <math>B</math> så får vi matrisen <math>A</math>. | ||
Nuvarande version
Följ tipsen i uppgift 7.2.
Tips 3
Följ tipsen i uppgift 7.2.
Lösning
Kalla matrisen \displaystyle A. Vi söker en matris \displaystyle B=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} som kommuterar med \displaystyle A. Det gäller att
AB=BA\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&1\\3&2\end{pmatrix}
\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2a+c&2b+d\\3a+2c&3b+2d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2a+3b&a+2b\\2c+3d&c+2d\end{pmatrix} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}{-4b+2c}&{-2a-6b+2d}&0&0\\{4a-6c-4d}&{4b-2c}&0&0\end{array}\right).
Varje komponent i systemet måste alltså uppfylla
\left\{\begin{array}{rcl}-3b+c&=&0\\-a+d&=&0\\3a-3d&=&0\\3b-c&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}3b-c&=&0\\a-d&=&0\end{array}\right.
Detta ger att \displaystyle c=3b och \displaystyle a=d.
Sätter vi \displaystyle d=t och \displaystyle b=s får vi \displaystyle c=3s och \displaystyle a=t.
Matrisen \displaystyle B ges alltså av
B=\begin{pmatrix} s+t&s\\3s&t\end{pmatrix}= s \begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Alltså ges de matriser \displaystyle B som kommuterar med \displaystyle A av de som är en linjärkombination av matriserna
\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1\\3&0\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}. Om vi sätter in \displaystyle s=1 och \displaystyle t=2 i
\displaystyle B så får vi matrisen \displaystyle A.
