Tips och lösning till U 7.12a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (28 oktober 2010 kl. 18.22) (redigera) (ogör)
 
(3 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Eftersom både <math>A</math> och <math>B</math> är av typen <math>3\times3</math>, så är
 +
<math>X</math> också av typen <math>3\times3</math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
I detta fall då A är kvadratisk så kommer det att finnas lösning till ekvationen om och endast om A har invers. För att få loss X skall vi sedan multiplicera båda led från vänster med <math>A^{-1}</math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Ta nu reda på <math>A^{-1}</math> på sedvanligt sätt. X erhålles sedan ur <math>
 +
X=A^{-1}B</math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Eftersom både <math>A</math> och <math>B</math> är av typen <math>3\times3</math>, så är
 +
<math>X</math> också av typen <math>3\times3</math>. Vi bestämmer om möjligt inversen till
 +
<math>A</math> och löser
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{l}\mbox{rad1-rad2}\\ \mbox{rad1-rad3}\end{array}\right\}
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&-1\\0&1&0\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\Leftrightarrow
 +
\{\mbox{rad2 och rad3 byter plats}\}
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\Leftrightarrow
 +
\{\mbox{rad2-rad3}\}
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\Leftrightarrow
 +
\{\mbox{rad3-rad1}\}
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Alltså är
 +
<math>A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right)</math>.
 +
 +
<math>AX=B</math> har därmed lösningen
 +
 +
 +
<center><math>
 +
X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&2&3\\-1&1&3\end{array}\right).
 +
</math></center>

Nuvarande version

Tips 1

Eftersom både \displaystyle A och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3, så är \displaystyle X också av typen \displaystyle 3\times3.

Tips 2

I detta fall då A är kvadratisk så kommer det att finnas lösning till ekvationen om och endast om A har invers. För att få loss X skall vi sedan multiplicera båda led från vänster med \displaystyle A^{-1}.

Tips 3

Ta nu reda på \displaystyle A^{-1} på sedvanligt sätt. X erhålles sedan ur \displaystyle X=A^{-1}B.

Lösning


Eftersom både \displaystyle A och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3, så är \displaystyle X också av typen \displaystyle 3\times3. Vi bestämmer om möjligt inversen till \displaystyle A och löser


\displaystyle

\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mbox{rad1-rad2}\\ \mbox{rad1-rad3}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&-1\\0&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}\right)


\displaystyle

\Leftrightarrow \{\mbox{rad2 och rad3 byter plats}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}\right)


\displaystyle

\Leftrightarrow \{\mbox{rad2-rad3}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right).


\displaystyle

\Leftrightarrow \{\mbox{rad3-rad1}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right)


Alltså är \displaystyle A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right).

\displaystyle AX=B har därmed lösningen


\displaystyle

X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&2&3\\-1&1&3\end{array}\right).

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_7.12a