Tips och lösning till U 7.12a
SamverkanLinalgLIU
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Eftersom både <math>A</math> och <math>B</math> är av typen <math>3\times3</math>, så är | |
| + | <math>X</math> också av typen <math>3\times3</math>. | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | I detta fall då A är kvadratisk så kommer det att finnas lösning till ekvationen om och endast om A har invers. För att få loss X skall vi sedan multiplicera båda led från vänster med <math>A^{-1}</math>. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Ta nu reda på <math>A^{-1}</math> på sedvanligt sätt. X erhålles sedan ur <math> | |
| + | X=A^{-1}B</math>. | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| Rad 18: | Rad 20: | ||
<math>X</math> också av typen <math>3\times3</math>. Vi bestämmer om möjligt inversen till | <math>X</math> också av typen <math>3\times3</math>. Vi bestämmer om möjligt inversen till | ||
<math>A</math> och löser | <math>A</math> och löser | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right|\left. | \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right|\left. | ||
| Rad 27: | Rad 31: | ||
\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}\right) | \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}\right) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
\Leftrightarrow | \Leftrightarrow | ||
| Rad 34: | Rad 40: | ||
\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}\right) | \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}\right) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
\Leftrightarrow | \Leftrightarrow | ||
| Rad 44: | Rad 52: | ||
\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right). | \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
\Leftrightarrow | \Leftrightarrow | ||
| Rad 51: | Rad 61: | ||
\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right) | \begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
Alltså är | Alltså är | ||
<math>A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right)</math>. | <math>A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right)</math>. | ||
<math>AX=B</math> har därmed lösningen | <math>AX=B</math> har därmed lösningen | ||
| + | |||
| + | |||
<center><math> | <center><math> | ||
X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&2&3\\-1&1&3\end{array}\right). | X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&2&3\\-1&1&3\end{array}\right). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Nuvarande version
Tips 1
Eftersom både \displaystyle A och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3, så är \displaystyle X också av typen \displaystyle 3\times3.
Tips 2
I detta fall då A är kvadratisk så kommer det att finnas lösning till ekvationen om och endast om A har invers. För att få loss X skall vi sedan multiplicera båda led från vänster med \displaystyle A^{-1}.
Tips 3
Ta nu reda på \displaystyle A^{-1} på sedvanligt sätt. X erhålles sedan ur \displaystyle X=A^{-1}B.
Lösning
Eftersom både \displaystyle A och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3, så är
\displaystyle X också av typen \displaystyle 3\times3. Vi bestämmer om möjligt inversen till
\displaystyle A och löser
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mbox{rad1-rad2}\\ \mbox{rad1-rad3}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&-1\\0&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}\right)
\Leftrightarrow \{\mbox{rad2 och rad3 byter plats}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}\right)
\Leftrightarrow \{\mbox{rad2-rad3}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right).
\Leftrightarrow \{\mbox{rad3-rad1}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right)
Alltså är
\displaystyle A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right).
\displaystyle AX=B har därmed lösningen
X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&2&3\\-1&1&3\end{array}\right).
