Tips och lösning till U 9.7a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (29 oktober 2010 kl. 16.10) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Sats 8.17 är viktig för att lösa denna typ av problem.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Du använder 1 och 3 i satsen och reducerar problemet till att undersöka om en viss determinant är skild från noll eller inte.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
 +
Låt nu vektorerna bilda kolonner i en determinant. Skaffa nollor i rad 1 genom att utnyttja ettan i kolonn 3.
-
Hej 3
 
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Enligt Sats 8.17, så är vektorerna
 +
<math>\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix} 0\\4\\5\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math>
 +
linjärt oberoende om determinanten för matrisen som har dem som kolonner är skilt från
 +
noll. Vi skaffar en nolla till i rad 1
 +
genom att addera <math> (-3)</math> gånger kolonn 3 till kolonn 1:
 +
<center><math>
 +
\left| \begin{array}{rrr} 3& 0& 1\\ 1& 4& 2\\ 2& 5& 3\end{array}\right|
 +
=\left| \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\ -5& 4& 2\\ -7& 5& 3 \end{array}\right|
 +
=
 +
(-1)^{(1+3)}\cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{rr} -5& 4\\ -7& 5\end{array}\right|=3\neq0.
 +
</math></center>
 +
Alltså är vektorerna linjärt oberoende.

Nuvarande version

Tips 1

Sats 8.17 är viktig för att lösa denna typ av problem.

Tips 2

Du använder 1 och 3 i satsen och reducerar problemet till att undersöka om en viss determinant är skild från noll eller inte.

Tips 3 Låt nu vektorerna bilda kolonner i en determinant. Skaffa nollor i rad 1 genom att utnyttja ettan i kolonn 3.

Lösning


Enligt Sats 8.17, så är vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\4\\5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} linjärt oberoende om determinanten för matrisen som har dem som kolonner är skilt från noll. Vi skaffar en nolla till i rad 1 genom att addera \displaystyle (-3) gånger kolonn 3 till kolonn 1:

\displaystyle

\left| \begin{array}{rrr} 3& 0& 1\\ 1& 4& 2\\ 2& 5& 3\end{array}\right| =\left| \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\ -5& 4& 2\\ -7& 5& 3 \end{array}\right| = (-1)^{(1+3)}\cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{rr} -5& 4\\ -7& 5\end{array}\right|=3\neq0.

Alltså är vektorerna linjärt oberoende.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_9.7a