Tips och lösning till U 11.4a

Tips 1

Beskriv U som en linjärkombination av de tre givna vektorerna.

Tips 2

Uttrycket för en vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t i mängden U blir \displaystyle \boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3 . Detta leder till ett ekvationssystem.

Tips 3

Ekvationssystemet blir \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\\1&-1&-1 \end{array}\right|\left. \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right). Lösningen till detta ekvationssystem är en oändlig lösningsmängd som ger ett samband mellan \displaystyle x_1, \displaystyle x_2 och \displaystyle x_3. Detta samband sökes.

Lösning

Linjära höljet \displaystyle U=[M] är mängden av alla linjärkombinationer i \displaystyle M , dvs \displaystyle U är mängden av alla \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4 sådana att

dvs

För att \displaystyle \boldsymbol{u} skall få tillhöra \displaystyle U så måste \displaystyle \boldsymbol{u} :s koordinater uppfylla ekvationen

Eftersom \displaystyle \boldsymbol{u} är godtycklig visar det vad som krävs av en vektor för att få tillhöra \displaystyle U . Därmed får vi att

Den geometriska tolkningen av underrummet \displaystyle U är att \displaystyle U är ett hyperplan i \displaystyle {\bf R}^4 .