Tips och lösning till U 11.15b
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''') |
|||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Nu har vi två ekvationer som leder till ett ekvationssystem. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Ekvationssystemet får en parameterlösning som ger dej de vektorer du behöver. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Slutligen fyller du ut till en bas med metoden en etta och resten nollor. Glöm ej att visa att dina vektorer är linjärt oberoende! | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Underrummet <math> V </math> är snittmängden mellan underrummen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | V_1=\{\boldsymbol{x}\in {\bf R}^4: x_1+x_2=0\} | ||
| + | </math></center> | ||
| + | och | ||
| + | <center><math> | ||
| + | V_2=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4: x_3+x_4=0\}, | ||
| + | </math></center> | ||
| + | dvs <math> V=V_1\cap V_2 </math>. En vektor <math> \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in V </math> | ||
| + | måste alltså uppfylla | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\x_3+x_4&=&0\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Om vi sätter <math> x_2=t </math>, så får vi att <math> x_1=-t </math> och om vi sätter <math> x_4=s </math> | ||
| + | så får vi <math> x_3=-s </math>. Alltså får vi att <math> V </math> består av alla vektorer på formen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \boldsymbol{x}=s(0,0,-1,1)^t+(-1,1,0,0)^t. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Det är ganska uppenbart att vektorerna | ||
| + | <math> \left(\begin{array}{r} 0\\0\\-1\\1\end{array}\right) </math> | ||
| + | och | ||
| + | <math> \left(\begin{array}{r} -1\\1\\0\\0\end{array}\right) </math> | ||
| + | är linjärt oberoende och därmed en bas för <math> V </math>. Alltså <math> \dim V=2 </math>. | ||
| + | Vi undersöker om vi kan fylla ut basen för <math> V </math> med t.ex., | ||
| + | <math> (1,0,0,0)^t </math> och <math> (0,0,1,0)^t </math> genom att lösa beroendesambandet | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \lambda_1(0,0,-1,1)^t+\lambda_2(-1,1,0,0)^t | ||
| + | +\lambda_3(1,0,0,0)^t+\lambda_4(0,0,1,0)^t | ||
| + | =\boldsymbol{0} | ||
| + | </math></center> | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \Leftrightarrow | ||
| + | </math></center> | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left(\begin{array}{rrrr}0&-1&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&1\\1&0&0&0\end{array}\right|\left. | ||
| + | \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Systemet har endast den triviala lösningen och därmed är | ||
| + | <math> (0,0,-1,1)^t,(-1,1,0,0)^t,(1,0,0,0)^t </math> och <math> (0,0,1,0)^t </math> | ||
| + | är linjärt oberoende och därmed bas för <math> {\bf R}^4 </math>. | ||
Nuvarande version
Tips 1
Nu har vi två ekvationer som leder till ett ekvationssystem.
Tips 2
Ekvationssystemet får en parameterlösning som ger dej de vektorer du behöver.
Tips 3
Slutligen fyller du ut till en bas med metoden en etta och resten nollor. Glöm ej att visa att dina vektorer är linjärt oberoende!
Lösning
Underrummet \displaystyle V är snittmängden mellan underrummen
V_1=\{\boldsymbol{x}\in {\bf R}^4: x_1+x_2=0\}
och
V_2=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4: x_3+x_4=0\},
dvs \displaystyle V=V_1\cap V_2 . En vektor \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in V måste alltså uppfylla
\left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\x_3+x_4&=&0\end{array}\right.
Om vi sätter \displaystyle x_2=t , så får vi att \displaystyle x_1=-t och om vi sätter \displaystyle x_4=s så får vi \displaystyle x_3=-s . Alltså får vi att \displaystyle V består av alla vektorer på formen
\boldsymbol{x}=s(0,0,-1,1)^t+(-1,1,0,0)^t.
Det är ganska uppenbart att vektorerna \displaystyle \left(\begin{array}{r} 0\\0\\-1\\1\end{array}\right) och \displaystyle \left(\begin{array}{r} -1\\1\\0\\0\end{array}\right) är linjärt oberoende och därmed en bas för \displaystyle V . Alltså \displaystyle \dim V=2 . Vi undersöker om vi kan fylla ut basen för \displaystyle V med t.ex., \displaystyle (1,0,0,0)^t och \displaystyle (0,0,1,0)^t genom att lösa beroendesambandet
\lambda_1(0,0,-1,1)^t+\lambda_2(-1,1,0,0)^t +\lambda_3(1,0,0,0)^t+\lambda_4(0,0,1,0)^t =\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrrr}0&-1&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&1\\1&0&0&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right)
Systemet har endast den triviala lösningen och därmed är \displaystyle (0,0,-1,1)^t,(-1,1,0,0)^t,(1,0,0,0)^t och \displaystyle (0,0,1,0)^t är linjärt oberoende och därmed bas för \displaystyle {\bf R}^4 .
