Tips och lösning till U 13.12b
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''') |
|||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Vi skall alltså finna två vektorer som är ortogonala mot båda de givna vektorerna. I vilket rum ligger dessa? | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Vektorer som är ortogonala mot W är just det som vi kallar ortogonala komplementet <math> W^\perp </math>. Vi söker därför vektorer <math> \boldsymbol{w}\in W^{\perp} </math> som uppfyller | |
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcl} (\boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_1) &=&0\\ | ||
| + | ( \boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_2) &=&0 | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | \Leftrightarrow | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3+x_4&=&0\\x_1-x_2+x_3-x_4&=&0\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Vi löser ekvationssystemet och får en parameterlösning som ger de sökta vektorerna. För säkerhets skull kan du kontrollera att de två vektorer du fått fram är ortogonala mot de givna. De skall naturligtvis även vara inbördes ortogonala. Återstår att normera. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | Fyll ut till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math> med en ON-bas <math> \{\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4\} </math> från <math> W^\perp </math>. | ||
| + | |||
| + | Vi söker därför vektorer <math> \boldsymbol{w}\in W^{\perp} </math> som uppfyller | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcl} (\boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_1) &=&0\\ | ||
| + | ( \boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_2) &=&0 | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | \Leftrightarrow | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3+x_4&=&0\\x_1-x_2+x_3-x_4&=&0\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | Detta system har lösningen <math> \boldsymbol{w}_1=(1,1,-1,-1)^t </math> och <math> \boldsymbol{w}_2=(1,-1,-1,1)^t </math>. | ||
| + | |||
| + | Då dessa redan är ortogonala behöver vi bara normera dem och vi får därmed ON-basen | ||
| + | <math> \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t </math> och | ||
| + | <math> \boldsymbol{e}_4=\frac{1}{2}(1,-1,-1,1)^t </math> i <math> W^{\perp} </math>. | ||
| + | |||
| + | Alltså fyller vi ut med <math> \boldsymbol{e}_3 </math> och <math> \boldsymbol{e}_4 </math> till en ON-bas | ||
| + | <math> \underline{\boldsymbol{e}}=(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4) </math> för hela <math> {\bf E}^4 </math>. | ||
Nuvarande version
Tips 1
Vi skall alltså finna två vektorer som är ortogonala mot båda de givna vektorerna. I vilket rum ligger dessa?
Tips 2
Vektorer som är ortogonala mot W är just det som vi kallar ortogonala komplementet \displaystyle W^\perp . Vi söker därför vektorer \displaystyle \boldsymbol{w}\in W^{\perp} som uppfyller
\left\{\begin{array}{rcl} (\boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_1) &=&0\\
( \boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_2) &=&0
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3+x_4&=&0\\x_1-x_2+x_3-x_4&=&0\end{array}\right.
Tips 3
Vi löser ekvationssystemet och får en parameterlösning som ger de sökta vektorerna. För säkerhets skull kan du kontrollera att de två vektorer du fått fram är ortogonala mot de givna. De skall naturligtvis även vara inbördes ortogonala. Återstår att normera.
Lösning
Fyll ut till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 med en ON-bas \displaystyle \{\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4\} från \displaystyle W^\perp .
Vi söker därför vektorer \displaystyle \boldsymbol{w}\in W^{\perp} som uppfyller
\left\{\begin{array}{rcl} (\boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_1) &=&0\\
( \boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_2) &=&0
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3+x_4&=&0\\x_1-x_2+x_3-x_4&=&0\end{array}\right.
Detta system har lösningen \displaystyle \boldsymbol{w}_1=(1,1,-1,-1)^t och \displaystyle \boldsymbol{w}_2=(1,-1,-1,1)^t .
Då dessa redan är ortogonala behöver vi bara normera dem och vi får därmed ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t och \displaystyle \boldsymbol{e}_4=\frac{1}{2}(1,-1,-1,1)^t i \displaystyle W^{\perp} .
Alltså fyller vi ut med \displaystyle \boldsymbol{e}_3 och \displaystyle \boldsymbol{e}_4 till en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4) för hela \displaystyle {\bf E}^4 .
