Tips och lösning till U 13.16

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (10 november 2010 kl. 17.20) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
För att lösa denna typ av problem behöver du en ON-bas till den givna mängden
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Undersök först om det finns onödiga vektorer via kontroll om vektorerna är linjärt beroende eller oberoende. Därefter fixar du till en ON-bas av rätt dimension (som i detta fall är 2) med hjälp av G-S process.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
För att nu svara på frågan om vilken vektor som ligger närmast den angivna vektorn '''''u''''' har du nytta av figur 12.24. Den vektor du söker är alltså '''''u''''':s ortogonala projektion i W. Den vektor brukar benämnas <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W} </math>. Den är nu lätt att beräkna när du har en ON-bas ty <center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=(0,1,2,-1)^t.
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Visa att <math> \dim W=[\boldsymbol{v}_1=(1,1,1,-1)^t,\boldsymbol{v}_2=(-1,1,3,-1)^t,\boldsymbol{v}_3=(1,0,-1,0)^t]=2 </math>,
 +
ty det är linjärt beroende: <math> \boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2-2\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0} </math> och onödiga vektorer skall strykas.
 +
<math> W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] </math>. Bestäm nu en ON-bas i <math> W </math> mha G-S process så att
 +
<center><math>
 +
W=\Big[\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^t,\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt2}(-1,0,1,0)^t\Big].
 +
</math></center>
 +
 +
Närmaste vektorn till <math> \boldsymbol{u} </math> är <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W} </math> som ges av
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=(0,1,2,-1)^t.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Observera att
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\perp W}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}.
 +
</math></center>

Nuvarande version

Tips 1

För att lösa denna typ av problem behöver du en ON-bas till den givna mängden

Tips 2

Undersök först om det finns onödiga vektorer via kontroll om vektorerna är linjärt beroende eller oberoende. Därefter fixar du till en ON-bas av rätt dimension (som i detta fall är 2) med hjälp av G-S process.

Tips 3

För att nu svara på frågan om vilken vektor som ligger närmast den angivna vektorn u har du nytta av figur 12.24. Den vektor du söker är alltså u:s ortogonala projektion i W. Den vektor brukar benämnas \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} . Den är nu lätt att beräkna när du har en ON-bas ty
\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=(0,1,2,-1)^t.

Lösning


Visa att \displaystyle \dim W=[\boldsymbol{v}_1=(1,1,1,-1)^t,\boldsymbol{v}_2=(-1,1,3,-1)^t,\boldsymbol{v}_3=(1,0,-1,0)^t]=2 , ty det är linjärt beroende: \displaystyle \boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2-2\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0} och onödiga vektorer skall strykas. \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] . Bestäm nu en ON-bas i \displaystyle W mha G-S process så att

\displaystyle

W=\Big[\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^t,\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt2}(-1,0,1,0)^t\Big].

Närmaste vektorn till \displaystyle \boldsymbol{u} är \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} som ges av

\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=(0,1,2,-1)^t.


Observera att


\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\perp W}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.16