Tips och lösning till U 15.6a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (11 november 2010 kl. 15.39) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi följer precis samma lösningsmönster som i uppgiften 15.5. Det vi skall kontrollera innan vi börjar att räkna är vilken dimension W har.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Eftersom dimensionen är tre så ansätter vi <center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 +
 +
\lambda_3 \boldsymbol{v}_3,
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Se vidare uppgift 15.5.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Vi har att <math> W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] </math> där
 +
<math> \boldsymbol{v}_1 </math>, <math> \boldsymbol{v}_2 </math> och
 +
<math> \boldsymbol{v}_3 </math> är linjärt oberoende vilket ger att <math> \dim W=3 </math>,
 +
Vi söker <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W </math>, dvs vi söker <math> \lambda_1 </math>,
 +
<math> \lambda_2 </math> och <math> \lambda_3 </math> så att
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 +
 +
\lambda_3 \boldsymbol{v}_3,
 +
</math></center>
 +
ligger närmast <math> \boldsymbol{u} </math>. Eftersom vektorn <math> \boldsymbol{u} </math> kan delas upp i
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},
 +
</math></center>
 +
så vill vi att felet
 +
<center><math>
 +
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
 +
</math></center>
 +
ska bli så litet som möjligt.
 +
 +
Vi sätter upp relationen
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 + \lambda_3 \boldsymbol{v}_3
 +
</math></center>
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
<center><math>
 +
\lambda_1\left(\begin{array}{r}1\\0\\2\\2\end{array}\right)
 +
+\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\0\\1\end{array}\right)
 +
+\lambda_3 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\\5\end{array}\right)
 +
=\left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&0&0\\2&0&-1\\2&1&5\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\lambda_3\end{array}\right)
 +
=
 +
\left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
Detta system saknar lösning! MK-metoden där vi läser
 +
normalekvationen ger
 +
<center><math>
 +
\left(\begin{array}{rrrr}1&0&2&2\\1&0&0&1\\1&0&-1&5\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&0&0\\2&0&-1\\2&1&5\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\lambda_3\end{array}\right)
 +
=
 +
\left(\begin{array}{rrrr}1&0&2&2\\1&0&0&1\\1&0&-1&5\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
<center><math>
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr|r}9&3&9&18\\3&2&6&4\\9&6&27&6\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&8/3\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&-2/3\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Alltså får vi att
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W} =\frac{8}{3} \boldsymbol{v}_1 + 0\cdot \boldsymbol{v}_2-\frac{2}{3}\boldsymbol{v}_3
 +
= \frac{8}{3}\left(\begin{array}{r}1\\0\\2\\2\end{array}\right)
 +
-\frac{2}{3} \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\\5\end{array}\right)
 +
= \left(\begin{array}{r} 2\\0\\6\\2\end{array}\right)
 +
</math></center>

Nuvarande version

Tips 1

Vi följer precis samma lösningsmönster som i uppgiften 15.5. Det vi skall kontrollera innan vi börjar att räkna är vilken dimension W har.

Tips 2

Eftersom dimensionen är tre så ansätter vi
\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 + \lambda_3 \boldsymbol{v}_3,

Tips 3

Se vidare uppgift 15.5.

Lösning


Vi har att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] där \displaystyle \boldsymbol{v}_1 , \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 är linjärt oberoende vilket ger att \displaystyle \dim W=3 , Vi söker \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W , dvs vi söker \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 så att

\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 + \lambda_3 \boldsymbol{v}_3,

ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} . Eftersom vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} kan delas upp i

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},

så vill vi att felet

\displaystyle

||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||

ska bli så litet som möjligt.

Vi sätter upp relationen

\displaystyle

\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 + \lambda_3 \boldsymbol{v}_3

\displaystyle \Leftrightarrow
\displaystyle

\lambda_1\left(\begin{array}{r}1\\0\\2\\2\end{array}\right) +\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\0\\1\end{array}\right) +\lambda_3 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\\5\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&0&0\\2&0&-1\\2&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\lambda_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right)

Detta system saknar lösning! MK-metoden där vi läser normalekvationen ger

\displaystyle

\left(\begin{array}{rrrr}1&0&2&2\\1&0&0&1\\1&0&-1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&0&0\\2&0&-1\\2&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\lambda_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}1&0&2&2\\1&0&0&1\\1&0&-1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right)

\displaystyle

\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r}9&3&9&18\\3&2&6&4\\9&6&27&6\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&8/3\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&-2/3\end{array}\right.

Alltså får vi att

\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W} =\frac{8}{3} \boldsymbol{v}_1 + 0\cdot \boldsymbol{v}_2-\frac{2}{3}\boldsymbol{v}_3 = \frac{8}{3}\left(\begin{array}{r}1\\0\\2\\2\end{array}\right) -\frac{2}{3} \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\\5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2\\0\\6\\2\end{array}\right)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_15.6a