Tips och lösning till U 13.10
SamverkanLinalgLIU
| Rad 7: | Rad 7: | ||
ON-basen tar du farm med G-S process. När detta är gjort är det dags att beräkna <math>\boldsymbol{u}</math> där | ON-basen tar du farm med G-S process. När detta är gjort är det dags att beräkna <math>\boldsymbol{u}</math> där | ||
| - | <math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}</math> | + | <center><math>\boldsymbol{u}= |
| + | \boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}</math></center> | ||
<math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}</math> | <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}</math> | ||
| Rad 13: | Rad 14: | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | Du beräknar först <math>\boldsymbol{u}_{\parallel | + | Du beräknar först |
| - | + | <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+ | |
| - | </math> och därefter kan du beräkna <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel | + | (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{5}(5,2,5,-1)^t. |
| - | + | </math> och därefter kan du beräkna <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}= | |
| + | \boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{5}(0,3,0,6)}</math> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
Versionen från 16 november 2010 kl. 16.21
Tips 1
Grundidéen är att du skapar en ON-bas i W. Då är det lätt att få ut koordinaterna till en vektor i denna bas. Se exempelvis hur du gjorde i exempel 13.7d
Tips 2
ON-basen tar du farm med G-S process. När detta är gjort är det dags att beräkna \displaystyle \boldsymbol{u} där
\displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}
Tips 3
Du beräknar först \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+ (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{5}(5,2,5,-1)^t. och därefter kan du beräkna \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}= \boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{5}(0,3,0,6)}
Lösning
Visa att \displaystyle \dim W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,1,-1)^t,\boldsymbol{v}_2=(0,1,0,1)^t]=2 .
Bestäm en ON-bas i \displaystyle W mha G-S process: låt \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt7}(1,2,1,-1)^t ; vidare låt
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{7}(5,-4,5,2)^t.
Normera, så att \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt{70}}(5,-4,5,2)^t .
Vektorn
\boldsymbol{u}=\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2}_{\boldsymbol{u}_{\parallel W}}
+\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4}_{\boldsymbol{u}_{\parallel
W^\perp}},
där
\boldsymbol{u}_{\parallel
W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{5}(5,2,5,-1)^t.
och
\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel
W}=\frac{1}{5}(0,3,0,6).
