Tips och lösning till U 22.2b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (16 november 2010 kl. 16.55) (redigera) (ogör)
 
(4 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Du skall även i detta fall beräkna en matrisprodukt.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Du skall beräkna <math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Efter beräkningen kan du efter lite omskrivning avläsa egenvärdet samtidigt som du har visat att vektorn var en egenvektor.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Vektorn
 +
<math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)
 +
</math>
 +
är en egenvektor tillhörande egenvärde <math>\lambda_2 </math> om
 +
 +
 +
<center><math>
 +
F(\boldsymbol{v}_2)=\lambda_2\boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow AX_2=\lambda_2X_2
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow </math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) = (-1)\cdot\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=(-1)\cdot\boldsymbol{v}_2.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Alltså är <math>\lambda_2=-1 </math>.

Nuvarande version

Tips 1

Du skall även i detta fall beräkna en matrisprodukt.

Tips 2

Du skall beräkna \displaystyle \left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)

Tips 3

Efter beräkningen kan du efter lite omskrivning avläsa egenvärdet samtidigt som du har visat att vektorn var en egenvektor.

Lösning


Vektorn \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) är en egenvektor tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_2 om


\displaystyle

F(\boldsymbol{v}_2)=\lambda_2\boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow AX_2=\lambda_2X_2


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

\left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) = (-1)\cdot\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=(-1)\cdot\boldsymbol{v}_2.


Alltså är \displaystyle \lambda_2=-1 .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.2b