Tips och lösning till övning 3.8b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (2 oktober 2010 kl. 14.48) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 30: Rad 30:
<center><math>
<center><math>
-
\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\1\\{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow
+
\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\3\\{2}\end{pmatrix}\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow
-
\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 3\\ -1& 1& 2\end{array}\right|\left.
+
\left(\begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right|\left.
\begin{array}{r} 4\\ 3\\ 2\end{array}\right).
\begin{array}{r} 4\\ 3\\ 2\end{array}\right).
</math></center>
</math></center>

Nuvarande version

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_1 om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att


\displaystyle

\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}.


Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:


\displaystyle

\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\3\\{2}\end{pmatrix}\Leftrightarrow 

       \left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
       \Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 4\\ 3\\ 2\end{array}\right).


Detta system saknar lösning. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_2 inte en linjärkombination av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är utom räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför inte heller i samma plan som spänns upp av mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.8b