Tips och lösning till övning 3.8b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 19: Rad 19:
om det finns tal <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> så
om det finns tal <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> så
att
att
-
<center><math>\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}. </math> </center>
+
 
 +
 
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}.
 +
</math> </center>
 +
 
Vi multiplicerar in <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> och skriver systemet på matrisform:
Vi multiplicerar in <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> och skriver systemet på matrisform:
-
<center><math>\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 41{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow
+
 
 +
 
 +
<center><math>
 +
\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 41{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow
-
\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 3\\ -1& 1& 2\end{array}\right).</math></center>
+
\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 3\\ -1& 1& 2\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 
Detta system saknar lösning. Alltså är <math>\boldsymbol{u}_2</math> inte en linjärkombination av
Detta system saknar lösning. Alltså är <math>\boldsymbol{u}_2</math> inte en linjärkombination av
<math>\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}</math>, dvs <math>\boldsymbol{u}_2</math> är utom räckhåll för <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math> och ligger därför inte heller i samma plan som spänns upp av mängden <math>\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}</math>.
<math>\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}</math>, dvs <math>\boldsymbol{u}_2</math> är utom räckhåll för <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math> och ligger därför inte heller i samma plan som spänns upp av mängden <math>\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}</math>.

Versionen från 17 september 2010 kl. 07.36

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_1 om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att


\displaystyle

\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}.


Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:


\displaystyle

\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 41{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow 

       \left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
       \Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 3\\ -1& 1& 2\end{array}\right).


Detta system saknar lösning. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_2 inte en linjärkombination av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är utom räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför inte heller i samma plan som spänns upp av mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.8b