Tips och lösning till U 22.13

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Vi löser sekularekvationen och börjar med att addera
 +
raderna till rad 3:
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left| \begin{array}{ccc} {1-\lambda}&2&1\\2&{1-\lambda}&1\\1&1&{2-\lambda}\end{array}\right|
 +
=\left| \begin{array}{ccc}{1-\lambda}&2&1\\2&{1-\lambda}&1\\{4-\lambda}&{4-\lambda}&{4-\lambda}\end{array}\right|
 +
=(4-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}{1-\lambda}&2&1\\2&{1-\lambda}&1\\1&1&1 \end{array}\right|
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
=\mbox{kolonnoperationer ger }
 +
(4-\lambda)
 +
\left| \begin{array}{ccc}{-\lambda}&1&1\\1&{-\lambda}&1\\0&0&1=(4-\lambda)(\lambda^2-1) \end{array}\right|.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Alltså är egenvärdena <math> \lambda_1=1 </math>,
 +
<math> \lambda_2=-1 </math> och <math> \lambda_3=4 </math>.
 +
 +
 +
Tillhörande egenvektorer får vi om vi löser systemen
 +
 +
 +
<center><math>
 +
(A-\lambda_k E)X_k=0,\ k=1,2,3.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Dessa är <math> \boldsymbol{v}_1=t(1,1,-2)^t </math>, <math> \boldsymbol{v}_2=t(1,-1,0)^t </math>
 +
resp. <math> \boldsymbol{v}_3=t(1,1,1)^t </math>.
 +
 +
 +
Vi bestämmer nu koordinaterna för vektorn <math> \boldsymbol{v}=(0,1,0)^t </math>
 +
i denna bas, dvs vi söker
 +
<math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> och <math> x_3 </math> så att
 +
 +
 +
<center><math>
 +
x_1\boldsymbol{v}_1+x_2\boldsymbol{v}_2+x_3\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{v}
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&-1&1\\-2&0&1\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Lösningen är <math> x_1=1/6 </math>, <math> x_2=-1/2 </math> och <math> x_3=1/3 </math>.
 +
Vektorn <math> \boldsymbol{v}=(0,1,0)^t </math> har i basen
 +
<math> \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} </math> koordinaterna
 +
<math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{v}} (1/6,-1/2,1/3)^t</math>.

Versionen från 19 september 2010 kl. 18.28

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi löser sekularekvationen och börjar med att addera raderna till rad 3:


\displaystyle

\left| \begin{array}{ccc} {1-\lambda}&2&1\\2&{1-\lambda}&1\\1&1&{2-\lambda}\end{array}\right| =\left| \begin{array}{ccc}{1-\lambda}&2&1\\2&{1-\lambda}&1\\{4-\lambda}&{4-\lambda}&{4-\lambda}\end{array}\right| =(4-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}{1-\lambda}&2&1\\2&{1-\lambda}&1\\1&1&1 \end{array}\right|


\displaystyle

=\mbox{kolonnoperationer ger } (4-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}{-\lambda}&1&1\\1&{-\lambda}&1\\0&0&1=(4-\lambda)(\lambda^2-1) \end{array}\right|.


Alltså är egenvärdena \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_2=-1 och \displaystyle \lambda_3=4 .


Tillhörande egenvektorer får vi om vi löser systemen


\displaystyle 
(A-\lambda_k E)X_k=0,\  k=1,2,3.


Dessa är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t(1,1,-2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=t(1,-1,0)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_3=t(1,1,1)^t .


Vi bestämmer nu koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{v}=(0,1,0)^t i denna bas, dvs vi söker \displaystyle x_1 , \displaystyle x_2 och \displaystyle x_3 så att


\displaystyle

x_1\boldsymbol{v}_1+x_2\boldsymbol{v}_2+x_3\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{v} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&-1&1\\-2&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right).


Lösningen är \displaystyle x_1=1/6 , \displaystyle x_2=-1/2 och \displaystyle x_3=1/3 . Vektorn \displaystyle \boldsymbol{v}=(0,1,0)^t har i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} koordinaterna \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{v}} (1/6,-1/2,1/3)^t.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.13