Tips och lösning till U 22.16c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 16: Rad 16:
-
Vi börjar med att i sekularekvationen subtrahera rad 2 från rad
+
Vi börjar med att i sekularekvationen subtrahera rad 2 från rad 3 och addera kolonn 3 till kolonn 2:
-
3 och addera kolonn 3 till kolonn 2:
+
<center><math>
<center><math>
-
\left(\begin{array}{rrr} {4-\lambda}&{-2}&{-2\\}{-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{-2}&7&{-5-\lambda} \end{array}\right)
+
\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-2}&-2\\{-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{-2}&7&{-5-\lambda} \end{array}\right)
-
=\left(\begin{array}{rrr} {4-\lambda}&{-2}&{-2}\\ {-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{0}&{12+\lambda}&{-12-\lambda} \end{array}\right)
+
=\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-2}&{-2}\\ {-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{0}&{12+\lambda}&{-12-\lambda} \end{array}\right)
-
=\left(\begin{array}{rrr} {4-\lambda}&{-4}&{-2}\\{-2}&{2-\lambda}&{7}\\{0}&{0}&{-12-\lambda} \end{array}\right)
+
=\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-4}&{-2}\\{-2}&{2-\lambda}&{7}\\{0}&{0}&{-12-\lambda} \end{array}\right)
</math></center>
</math></center>
<center><math>
<center><math>
-
=(-12-\lambda) \left(\begin{array}{rr}{4-\lambda}&{-4}\\{-2}&{2-\lambda} \end{array}\right)
+
=(-12-\lambda) \left(\begin{array}{cc}{4-\lambda}&{-4}\\{-2}&{2-\lambda} \end{array}\right)
=\lambda(-12-\lambda)(\lambda-6).
=\lambda(-12-\lambda)(\lambda-6).
</math></center>
</math></center>
Rad 38: Rad 37:
<math> \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,1)^t </math>
<math> \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,1)^t </math>
resp. <math> \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{\sqrt2}(0,1,-1)^t </math>.
resp. <math> \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{\sqrt2}(0,1,-1)^t </math>.
 +
 +
Sökt matris är
Sökt matris är
<math> T=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{rrr}{-2}&{\sqrt2}&0\\1&{\sqrt2}&{\sqrt3}\\1&{\sqrt2}&{-\sqrt3} \end{array}\right)</math>
<math> T=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{rrr}{-2}&{\sqrt2}&0\\1&{\sqrt2}&{\sqrt3}\\1&{\sqrt2}&{-\sqrt3} \end{array}\right)</math>

Versionen från 19 september 2010 kl. 20.58

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi börjar med att i sekularekvationen subtrahera rad 2 från rad 3 och addera kolonn 3 till kolonn 2:


\displaystyle

\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-2}&-2\\{-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{-2}&7&{-5-\lambda} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-2}&{-2}\\ {-2}&{-5-\lambda}&{7}\\{0}&{12+\lambda}&{-12-\lambda} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} {4-\lambda}&{-4}&{-2}\\{-2}&{2-\lambda}&{7}\\{0}&{0}&{-12-\lambda} \end{array}\right)


\displaystyle

=(-12-\lambda) \left(\begin{array}{cc}{4-\lambda}&{-4}\\{-2}&{2-\lambda} \end{array}\right) =\lambda(-12-\lambda)(\lambda-6).


Egenvärdena med tillhörande ON-bas av egenvektorer är \displaystyle \lambda_1=6 , \displaystyle \lambda_2=0 , \displaystyle \lambda_3=-12 och \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt6}(-2,1,1)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,1)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{\sqrt2}(0,1,-1)^t .


Sökt matris är \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{rrr}{-2}&{\sqrt2}&0\\1&{\sqrt2}&{\sqrt3}\\1&{\sqrt2}&{-\sqrt3} \end{array}\right) och därmed är

\displaystyle

T^tAT=\left(\begin{array}{rrr}6&0&0\\0&0&0\\0&0&{-12} \end{array}\right) =D.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.16c