Tips och lösning till U 22.22a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Vi skriver ekvationen på matrisform och får
 +
 +
 +
<center><math>
 +
5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}5&1&1\\1&5&1\\1&1&5\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>X^tAX=1.</math></center>
 +
 +
 +
Matrisen <math>A </math> är symmetrisk och då säger spektralsatsen att <math>A </math> är
 +
diagonaliserbar.
 +
 +
Egenvärdena till <math>A </math> är <math>\lambda_1=7 </math>, <math>\lambda_2=4 </math> och <math>\lambda_3=4 </math>.
 +
Tillhörande ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{f}} </math> av egenvektorer är
 +
<math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r} 1\\1\\1\end{array}\right) </math>,
 +
<math>\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) </math>
 +
resp.
 +
<math>\boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\end{array}\right) </math>.
 +
 +
Alltså är <math>A </math> diagonaliserbar med <math>A=TDT^{t} </math>, där
 +
<math> D=\left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) </math> och
 +
 +
<math> T=\left(\begin{array}{rrr}{1/\sqrt3}&{-1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&0&{-2/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&{1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\end{array}\right) </math>
 +
är ortogonal.
 +
Ekvationen kan i den nya ON-basen <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> och med nya koordinater
 +
<math> Y </math>, där <math> X=TY </math> skrivas
 +
 +
 +
<center><math>
 +
5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1
 +
\Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
7y_1^2+4y_2^2+4y_3^2=1.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Detta visar att ekvationen beskriver en ellipsoid.

Versionen från 20 september 2010 kl. 08.30

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi skriver ekvationen på matrisform och får


\displaystyle

5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}5&1&1\\1&5&1\\1&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle X^tAX=1.


Matrisen \displaystyle A är symmetrisk och då säger spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar.

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=7 , \displaystyle \lambda_2=4 och \displaystyle \lambda_3=4 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r} 1\\1\\1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\end{array}\right) .

Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) och

\displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr}{1/\sqrt3}&{-1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&0&{-2/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&{1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\end{array}\right) är ortogonal. Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas


\displaystyle

5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

7y_1^2+4y_2^2+4y_3^2=1.


Detta visar att ekvationen beskriver en ellipsoid.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.22a