Tips och lösning till övning 17.10

Tips 1

Tips 2

Tips 3

Lösning

1. Rita figur! Vi kallar speglingen för \displaystyle S. \displaystyle \boldsymbol{e}_1 är riktningsvektorn för \displaystyle x_1-axeln, den speglas på sig själv, dvs \displaystyle S(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. Vidare speglas normalen \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle x_1-axeln på motsatt riktning, dvs \displaystyle S(\boldsymbol{e}_2)-\boldsymbol{e}_2=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}0\\{-1}\end{pmatrix}. Matrisen ges alltså av \displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&{-1}\end{pmatrix}.

2. Rita figur! Låt \displaystyle P vara projektionen. Linjensekvation \displaystyle x_1+x_2=0 kan skrivas \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}=0\end{pmatrix}. Ur detta ser vi att normalen är \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}. Linjens riktningsvektor är ortogonal mot normalen, t.ex., \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{-1}\\{1}\end{pmatrix}.

Alternativt kan vi parametrisera ekvationen \displaystyle x_1+x_2=0 genom att sätta \displaystyle x_2=t och får att \displaystyle x_1=-t som ger riktningsvektorn igen (\displaystyle t=1). Dessa vektorer projiceras enligt

Löser vi ekvationssystemet får vi att \displaystyle P(\boldsymbol{e}_1)=\frac{1}{2}(\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2) och \displaystyle P(\boldsymbol{e}_2)=\frac{1}{2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2). \displaystyle P har alltså matrisen \displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&{-1}\\{-1}&1\end{pmatrix}.

3. Speglingen \displaystyle S avbildar riktningsvektorn \displaystyle -\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 på sig själv och normalen \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 på motsatt riktning, dvs

Löser vi systemet ovan får vi matrisen \displaystyle \begin{pmatrix}0&{-1}\\{-1}&0\end{pmatrix}

4. Se deluppgift 2 ovan. Matrisen är \displaystyle \frac{1}{25}\begin{pmatrix}9&{-12}\\{-12}&{16}\end{pmatrix}.