Tips och lösning till övning 17.16

Tips 1

Utnyttja att du i detta fall lätt tar fram normalen till hyperplanet. Vi har då i princip samma situation som i övning 17.12 ovan.

En normal till \displaystyle W är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1,1)^t.

Tips 2

Projektionen av en godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t erhålles enligt

Tips 3

Avsluta med att skriva om resultatet på formen AX där A är den sökta matrisen och X en kolonnmatris med \displaystyle \boldsymbol{u}:s koordinater.

Lösning

Underrummet \displaystyle W är ett hyperplan i \displaystyle {\bf E}^4. En normal till \displaystyle W är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1,1)^t. En godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t kan delas upp enligt

Eftersom \displaystyle W^{\perp}=[\boldsymbol{n}], så är \displaystyle P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})=\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} och

      &=\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)
                         - \frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)\bigg|

  \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\\
                 &=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr}3x_1-x_2-x_4-x_4\\-x_1+3x_2-x_3-x_4\\-x_1-x_2+3x_3-x_4\\-x_1-x_2-x_3+3x_4\end{array}\right).\\
               &=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrrr}3&-1&-1&-1\\-1&3&-1&-1\\-1&-1&3&-1\\-1&-1&3&-1\end{array}\right)

Matrisen är \displaystyle \frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrrr}3&{-1}&{-1}&{-1}\\{-1}&3&{-1}&{-1}\\{-1}&{-1}&3&{-1}\\{-1}&{-1}&{-1}&3\end{array}\right).