Tips och lösning till U 7.5a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Låt \displaystyle A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}.
Då är \displaystyle A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}
och
A^2=B\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a^2+bc&b(a+d)\\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\b(a+d)&=&0\quad(2)\\c(a+d)&=&0\quad(3)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right.\qquad(*)
\underline{Fall 1:} Antag att \displaystyle a+d=0, dvs \displaystyle a=-d. Då är ekvation (2) och (3) uppfyllda. Systemet (*) kan då skrivas där ekvation (1) och (4) blir
\left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a^2+bc&=&9\quad(1)\\bc+a^2&=&4\quad(4)\end{array}\right.
Detta är en motsägelse, så att systemet (*) saknar lösning.
\underline{Fall 2:} Antag att \displaystyle a+d\neq0. Då följer av ekvation (2) och (3) att \displaystyle b=0 resp. \displaystyle c=0. Systemet (*) kan nu skrivas
\left\{\begin{array}{rcl}a^2&=&9\quad(1)\\d^2&=&4\quad(4)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}a&=&\pm3\quad(1)\\d&=&\pm2\quad(4)\end{array}\right.
Alltså finns det fyra varianter \displaystyle A=\begin{pmatrix} \pm3&0\\0&\pm2\end{pmatrix} som uppfyller \displaystyle A^2=B.
Observera att vii såg i Övning 7.4 a) att om \displaystyle A=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix}, så är \displaystyle B=A^2=\begin{pmatrix} 9&0\\0&4\end{pmatrix}.
