Tips och lösning till U 13.4
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Funktionen \displaystyle \varphi är skalärprodukt om den är symmetrisk, linjär och positiv definit. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{w}=(z_1,z_2)^t . Då är \displaystyle \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=(y_1+z_1,y_2+z_2)^t och \displaystyle \boldsymbol{\lambda u}=(\lambda x_1,\lambda x_2)^t . Då är \displaystyle \varphi
a) symmetrisk om
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\varphi(\boldsymbol{v},\boldsymbol{u})
\Leftrightarrow
x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2= y_1x_1+3y_1x_2+ay_2x_1+by_2x_2
\Leftrightarrow
(3-a)x_1y_2+(a-3)x_2y_1=0 \Leftrightarrow a=3.
Då är
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2
b) linjär om
i) additiv, dvs \displaystyle \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})=\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})+\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{w}) . Nu är
\begin{array}{rcl} \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}) &=& x_1(y_1+z_1)+3x_1(y_2+z_2)+3x_2(y_1+z_1)+bx_2(y_2+z_2)\\ &=&x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2\\ &&+x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2\\ &=&\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) + \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{w}) \end{array}
ii) homogen, dvs \displaystyle \varphi(\lambda\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\lambda\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) . Det följer att
\begin{array}{rcl} \varphi(\lambda\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) &=& (\lambda x_1)y_1+3(\lambda x_1)y_2+3(\lambda x_2)y_1+b(\lambda x_2)y_2\\ &=&\lambda(x_1y_1+3x_1y_2+3x_2y_1+bx_2y_2)=\lambda\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}). \end{array}
c) positiv definit om \displaystyle \varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{u}) >0 . Vi har att
\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{u}) = x_1^2+6x_1x_2+bx_2^2=(x_1+3x_2)^2+(b-9)x_2^2>0
om \displaystyle b>9 .
Alltså är \displaystyle \varphi en skalärprodukt om \displaystyle a=3 och \displaystyle b>9 .
