Tips och lösning till U 22.22a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi skriver ekvationen på matrisform och får
5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}5&1&1\\1&5&1\\1&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
Matrisen \displaystyle A är symmetrisk och då säger spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar.
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=7 , \displaystyle \lambda_2=4 och \displaystyle \lambda_3=4 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r} 1\\1\\1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\end{array}\right) .
Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) och
\displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr}{1/\sqrt3}&{-1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&0&{-2/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&{1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\end{array}\right) är ortogonal. Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas
5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
7y_1^2+4y_2^2+4y_3^2=1.
Detta visar att ekvationen beskriver en ellipsoid.
