Tips och lösning till U 5.2

Tips 1

Rita ett högerorienterat koordinatsysten se fig 4.2. Rita även in de vektorer som har ett minustecken framför sig.

Tips 2

För att avgöra om vektorerna är positivt eller negativt orienterade skall du "sätta dej" i spetsen på den sista i sekvensen.

Tips 3

Vrid nu den första vektorn mot den andra och avgör om vridningen sker moturs (positivt orienterade) eller medurs (negativt orienterade).

Lösning

Börja med att rita ett koordinatsystem där trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) utgör ett högerorienterat system. T.ex., så du kan rita vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} som pekar i pekfingrets riktning västerut, \displaystyle \boldsymbol{v} pekar i långfingrets ritkning mot dig själv och \displaystyle \boldsymbol{w} pekar i tummens riktning rakt uppåt. Vi kan då dra slutsatsen att även \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w} , \boldsymbol{u}) och \displaystyle ( \boldsymbol{w} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v}) är högerorienterade system.

a) I trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) ser vi från \displaystyle \boldsymbol{w}  :s spets att \displaystyle \boldsymbol{v} vrids på \displaystyle \boldsymbol{u} medurs. Alltså är trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) vänsterorienterad.

b) Enligt räknelagarna för vektorprodukt så följer att

Därmed är \displaystyle ( -\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w}) vänsterorienterad.

c) I trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) ser vi från \displaystyle -\boldsymbol{w}  :s spets att \displaystyle \boldsymbol{v} vrids på \displaystyle \boldsymbol{u} moturs. Alltså är trippeln \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) högerorienterad. Alternativt så är enligt a) ovan \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) vänsterorienterad, därmed så är \displaystyle ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , -\boldsymbol{w}) = ( \boldsymbol{v} , \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w}) högerorienterad.

d) Trippeln är högerorienterad, ty

är högerorienterad.